[ resolución gráfica 1024 X 768 ]

 


El Tetraktys pitagórico


        Escribe Francisco Sanchez, Cathedratico de Rhetorica de la Vniuer
ſidad de Salamanca, en el prólogo del libro séptimo de Arithmetica Practica de Juan Pérez de Moya [1]:

 

        De tal manera, curioſo lector, los Pythagoricos reduxeron à numeros todas las coſas, que aun nueſtra anima racional quiſieron que de numeros fueſſe compueſta: & eſtos numeros del anima eran 4 que contados deſde vno hazen diez & perfecto triangulo. Y aſsi el mayor juramento que hazian era por el numero quaternario, de que el anima conſtaua. Lo qual todo aunque pareſce rediculo, no careſce de buen fundamento. Porque en el anima hallauan ellos auer quatro coſas: de las quales toda ſciencia & arte, y los hombres racionales eran conſtituydos. Eſtas ſon: Entendimiento, Sciencia, Opinion, Sentido.


 

        El Tetraktys, Τετρακτύς, simboliza el anagrama del juramento pitagórico mediante diez puntos dispuestos en un triángulo equilátero [2].

 

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

 

Escribe Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim - De occulta philosophia libri tres – 1533.

 

        Multam quoq; & maximam in myſteriis uim haber: hinc Pythagorici ipſum quaternarium iureiurando teſtabantur, tanquam ſummum quo fides nitatur & credulitas firmari poſſit: hinc dictum Pythagoricum iuſiurandum, quod in his uerſibus ſic expreſſit:

 

Iuro ego per sanctum pura tibi mente quaternum.

Æterne fontem naturæ animique parentem.


El Tetraktys pitagórico y la proposición 47 de Euclides


Significado del Tetraktys pitagórico:

Así pues, el Tetraktys pitagórico es un emblema de la Geometría que explica diversas cuestiones; la fuente de la Creación, la raíz de la eterna Naturaleza, la armonía de los contrarios, la esencia numérica de todas las cosas, el eterno retorno; y sobre esta base geométrica, que consta de 10 puntos, se estructuró el Árbol de la Vida en los llamados diez Sefirot de la Kabala.



   Estos son los Diez Sefirot de la nada;

el aliento de Dios vivo.

aliento del aliento.

agua del aliento.

fuego del agua.

Arriba, abajo, este, oeste, norte, sur.

 

אלו עשר ספירות בלימה (אחת) רוח אלהים חיים

רוח מרוח מים מרוח אש ממים רום ותחת מזרח ומערב צפון

ודרום

 

Sefer Yetzirah

 

Capítulo 1:14.

 




En busca de la unidad


        Tenemos bien entendido que la pulgada castellana se divide en doce partes llamadas líneas.

Sin contrariar al viejo sistema de medición castellano, podríamos ya decir que Velázquez hace uso de la pulgada fraccionada en 9 partes para poder así incluir a la unidad en sus precisas operaciones:

 

8/9 de pulgada equivale a la unidad en este nuevo plano.

 

Asevera el bachiller Iuan Perez de Moya en su libro ARISMETICA PRACTICA, Y ESPECULATIVA. Año M. DCIX:

 

El fundamento, o principio de la Ariſmetica, es la vnidad, aſsi como el punto lo es de la Geometria.

 

Los antiguos filósofos pitagóricos comparaban a la unidad, por ser divina, con el entendimiento, mientras que a la Ciencia, fundamentada en el Axioma y en la Doctrina, llamaban dos.


 

Sistema castellano pulgada línea punto milímetros unidades
pulgada 1 12 144 23,25 1,125
línea   1 12 1,9375 0,09375
punto     1 0,16145833 0,0078125


Equivalencias de la pulgada castellana


 

Será, por tanto, la unidad la quien defina en Las Meninas la Aritmética y Geometría del formato y tamaño de la pared del fondo pintada en este lienzo.


 

- FORMATO 8 -

 

Formato Valor de la pulgada La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros


La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros.


 

Formato Valor de la pulgada La altura   Pulgadas por unidad   Altura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 59,4 unidades X 0,888.888 = 52 y 12/15 pulgadas 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros


La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros.


 

   En la siguiente tabla se plasma el descubrimiento del valor de la pulgada castellana convertida a unidades; lo cual significa que nos hallamos ante la cuantía de 1,125 unidades por pulgada, o número roseta, que traduce las pulgadas castellanas en cualquier clase de sistema de medidas longitudinales, y que, con extrema exactitud, también nos pone en contacto con las dimensiones reales de Las Meninas.

 

1,125 unidades por pulgada X 0,888.888 pulgadas por unidad = 1.


 

Unidades División de la pulgada en 9 partes Pulgadas Milímetros en el sistema métrico
1,125 9/9 1 23,25
1 8/9 0,888888888 20,66666666
0,875 7/9 0,777777777 18,08333333
0,75 6/9 0,666666666 15,5
0,625 5/9 0,555555555 12,91666666
0,5 4/9 0,444444444 10,33333333
0,375 3/9 0,333333333 7,75
0,25 2/9 0,222222222 5,166666666
0,125 1/9 0,111111111 2,583333333


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el milímetro centesimal.

 

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.


 

La pulgada fraccionada en nueve partes, que hemos denominado la división velazqueña, está en relación directa con cada una de las 12 partes, ó 12 líneas, en las que se divide la pulgada castellana:

 

A través de las cantidades 3 y 4; números correspondientes al tamaño de los lados del triángulo pitagórico o escuadra perfecta.


 

la división velazqueña la pulgada castellana
9 partes o fracciones 12 líneas
1/9 = 0,02325/9 = 0,002583333 metros 1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros




 

Geometría cartesiana


        El filósofo y matemático francés René Descartes
[3], contemporáneo al maestro Velázquez, fusionó la geometría y el álgebra al idear el sistema cartesiano de referencia, en el que la posición de un punto en el espacio queda representado por las distancias; (x, y, z), a tres planos recíprocamente perpendiculares.

 

Es decir; cualquier punto, fijo o móvil, dentro de una habitación queda definido por tres distancias:

Para el caso que tratamos del plano de Las Meninas sólo necesitaremos dos cantidades:



El punto E: (0,0) es el centro y origen de coordenadas


Mostramos, pues, una cuadrícula geométrica emplazada sobre la superficie del lienzo de Las Meninas que ha rescatado del olvido las antiguas medidas de longitud castellanas, y confirmado que en una antigua restauración el tamaño de esta pintura fue levemente alterado, lo cual facilita el trazado exacto del verdadero borde y perímetro del lienzo.


El punto E, Centro de coordenadas, y el Centro de la pared del fondo.


0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen a: 0,3 unidades /1,125 unidades por pulgada = 0,266666666 pulgadas, es decir; 4/15 de pulgada.

0,3 unidades en el mundo real de la pared del fondo equivalen a: 0,3 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.


 
Pulgadas Metros Coeficiente
9 9 X 0,02325 = 0,20925 2º y 1/4
16 16 X 0,02325 = 0,372
32 32 X 0,02325 = 0,744
43 y 3/15 43 y 3/15 X 0,02325 = 1,0044 10º y 4/5
60 60 X 0,02325 = 1,395 15º
69 69 X 0,02325 = 1,60425 17º y 1/4
76 76 X 0,02325 = 1,767 19º
80 80 X 0,02325 = 1,86 20º
96 96 X 0,02325 = 2,232 24º
120 120 X 0,02325 = 2,79 30º
138 138 X 0,02325 = 3,2085 34º y 1/2
140 140 X 0,02325 = 3,255 35º


CALIBRACIÓN DEL LIENZO DE LAS MENINAS

 

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros

 

Esta rejilla de medición incluye las medidas del lienzo de Las Meninas y su ubicación respecto al tamaño real de la pared del fondo.

 

Anchura = 2,761583333 metros - Altura = 3,181375 metros.


Aunque no quisiéramos recordar la ingente cantidad de coordenadas que hemos localizado sobre la superficie de Las Meninas, exactamente: 22056.9891843.750 [5].




 

Estudio de la superficie de Las Meninas


        El lienzo de Las Meninas fue desmontado de su bastidor original en una antigua restauración, y pegado a un nuevo lienzo.

Este reentelado motivó un cambio radical de su formato, ya que el pintor había respetado a borde las zonas laterales, en una área sin pintura, ahora visible, que es la que doblaba sobre el bastidor original [6].

 

 

        Estudiaremos esta obra artística teniendo en cuenta dos argumentos bien previstos;

Por lo que solaparemos, sobre el canto del lienzo de Las Meninas, el perímetro de un cuadrado, de 155,25 unidades de lado, es decir; de una amplitud igual a un cuadrado de 138 pulgadas castellanas de lado, que hemos denominado:


Borde del orillo del lino original.


 

Caso Primero - Aritmética

 


Desglose de la Anchura de Las Meninas

 

2,761583333 metros = 133,625 unidades; que equivalen a 118 pulgadas y 7/9.

  • Desde el centro hasta el margen derecho es igual a 69 pulgadas = 77,625 unidades.

  • Desde el centro hasta el margen izquierdo es igual a 49 pulgadas y 7/9 = 56 unidades.

 

El centro del lienzo de Las Meninas es el punto F [7].


Y como se puede deducir, la altura del lienzo original de Las Meninas medía el doble del ancho de la distancia entre el centro del espejo y el borde del orillo del lino original en el canto derecho del moderno bastidor [8].

 

Sin duda, 3,2085 metros, que equivale a 138 pulgadas en el sistema castellano, era el tamaño de la altura del lienzo de Las Meninas antes de ser montado a su bastidor original.

 

Y la anchura, necesariamente, medía 120 pulgadas, que es la cantidad de pulgadas que corresponden a la mitad de la anchura real de la Habitación del Príncipe.

 

 

        Estudiando detenidamente el lienzo de Las Meninas descubrimos un Caso Segundo, [9] ya que su tamaño actual se ciñen a la particular estética y proporción matemática que fue objeto en la restauración y forración del siglo XIX:

 

La anchura de esta pintura es igual a la altura multiplicada por la raíz cuadrada de 3 dividida entre 2.

 

Idea que corresponde al gran triángulo equilátero ODB que limita, su altura OW, la anchura de Las Meninas.


 


Caso Segundo - Matemática

 

Estudio de la anchura de Las Meninas en base a la raíz cuadrada de 3.


La vesica piscis es un símbolo hecho con dos semicírculos del mismo radio, en este caso el radio equivale a la unidad, de manera que el centro de cada círculo, B y D, está en el perímetro de la circunferencia del otro.

 

Tenemos que BD = BO = OD = 1.

 

En la antigüedad la razón matemática entre la anchura y la altura de la vesica fue aproximada por el cociente 265/153, que es igual a 1,732026144, y equivalente a √3.

 

En este Caso Segundo hemos aproximado esta razón matemática al cociente 133,5/154, que es igual a 0,866883116, y equivalente a √3/2.

 

Y se entiende, por tanto, que el eje de simetría de esta pintura se equilibró a partir de un cuadrado para privilegiar a los reyes como centro intuitivo de la composición; mientras que el corte por el lateral izquierdo, consecuentemente, mantuvo la posición del espejo en el centro de la pared del fondo.

 

Leonardo da Vinci ya había escrito [10]:

 

Y el geómetra reduce al cuadrado toda superficie limitada por líneas, (...).

 

E se il Geometra riduce ogni superficie circondata da linee alla figura del quadrato, (...).



El espejo de Las Meninas ocupa un lugar preeminente como centro de un gran cuadrado.


En el lateral izquierdo, vector AC, hallamos el límite de la relación pitagórica del tamaño de Las Meninas de 3,18 metros de su altura por 2,76 metros de su anchura, y decimos límite porque se puede observar el orillo, o remate del lino del lienzo original, tangente al borde derecho del nuevo bastidor, en el lado opuesto BD.

 

Gracias al concepto del cuadrado, ÁBC´D, es posible centrar al espejo.

 

 

        En el siguiente Caso analizaremos las medidas de este lienzo geométricamente a partir del orillo de su lateral derecho; dándose el hecho de que estas medidas de Las Meninas coinciden con el actual tamaño registrado en el Catálogo del Museo del Prado



Caso Tercero - Geometría

 


Desglose de las medidas de Las Meninas

 

Medidas
 
Unidades
 
Sistema castellano
 
Sistema métrico
 
Museo del Prado
 
Altura
 
154
 
136 pulgadas y 8/9
 
3,182666666 metros
 
3,18 metros
 
Anchura
 
133,5
 
118 pulgadas y 6/9
 
2,759 metros
 
2,76 metros
 


Este tamaño de Las Meninas coincide con las medidas actuales del Catálogo del Museo del Prado.


 

Esencialmente:

Y aunque el punto F es el centro compositivo de Las Meninas, se le adivina en dos posiciones diferentes; una consecuencia de la anchura actual de esta pintura, y la otra es a causa de la precisa cantidad desestimada de la zona izquierda, lo cual provoca un leve cambio de posición de este centro de composición de la creación velazqueña.

 

El corte por el lateral izquierdo provoca el escamoteo del verdadero centro geométrico de Las Meninas en la parte superior de la moldura negra del espejo con los reyes reflejados en su interior; el punto E.

 

Estos tres primeros Casos analizados son producto de una misma idea del desarrollo indispensable de una obra de arte tan compleja como son Las Meninas.




El triángulo equilátero perfecto


       
Una pauta especial a seguir, y que nos ha ayudado a entender mejor las cuatro esquinas de este lienzo, ha sido operar con fracciones adecuadas, que es la condición previa y precisa del geómetra, de la misma manera que en la antigüedad se utilizaban los números racionales en el cálculo algebraico [11].

 

Si hubiéramos mantenido el valor de la anchura de trabajo, es decir; la de 133,625 unidades, entonces el cálculo de la altura sería el siguiente:

 

133,625 X 2 / √3 = 154,2968594... unidades [12].

 

Y en el Caso Tercero, es decir; manteniendo la anchura de 133,5 unidades tendríamos:

 

133,5 X 2 / √3 = 154,1525218... unidades.




 

        Esta obra está forrada con el sistema tradicional de la gacha. El soporte original está formado por la unión de tres bandas de lienzo de lino, colocadas verticalmente, es decir, en el sentido de su fabricación; la central y la lateral derecha presentan todo el ancho de la tela, ya que se puede observar el orillo en el borde derecho que dobla sobre el bastidor. La banda lateral izquierda es de menor tamaño y no se observa el orillo; tal vez fue cortada por Velázquez, para conseguir unas determinadas dimensiones en la composición... [13].

 

Las dos bandas de tela de la derecha de este lienzo son del mismo tamaño.



Medidas exactas de la tres bandas del lienzo de Las Meninas


31 pulgadas y 4/9

43 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

118 pulgadas y 7/9

0,731083333 metros

banda izquierda

1,01525 metros

banda central

1,01525 metros

banda derecha

2,761583333 metros

Total de la Anchura del lienzo actual


El ancho de Las Meninas sin marco y bastidor mide 120 pulgadas según el Inventario de 1734.

 

Aunque es más probable que la anchura de estas tres telas midiesen respectivamente: 32 + 44 + 44 = 120 pulgadas.


El corte vertical por el lado izquierdo del lienzo de Las Meninas supuso un estrechamiento severo respecto a su pensada composición inicial cuadrada, aunque investigarlo es el paso necesario para arribar a otro nivel, y ahondar en la estructura simbólica del tema que tratamos.




Génesis de la Geometría de Las Meninas


        No dudamos de la exactitud de los cuatro Casos de medición que planteamos, por lo que deberíamos coronar
esta investigación, necesariamente, con un quinto Caso que unifique todo el enfoque geométrico ya propuesto; lo cual implicaría la representación de todas las relaciones geométricas fundamentales del lienzo de Las Meninas en un único plano.

 

Para esta demostración geométrica de Las Meninas expondremos las afirmaciones previamente ya establecidas:

Estas premisas expresan distintas maneras de medir impecablemente al lienzo de Las Meninas [14].

 

No obstante, nos basaremos en dos ideas complementarias que anticiparon y responden a la génesis geométrica de Las Meninas:


   
Cateto menor

ab

Cateto mayor

ac

Hipotenusa

cb

1 √3 2
120 120√3 240


Terna pitagórica de la Proposición 47 de Euclides

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al describe el eje vertical del punto de fuga áureo X:

 

 

al = 2 + √3/2.


Tamaño del área geométrica de Las Meninas
en pulgadas castellanas


Escribe Vitrubio en el capítulo II del Libro Noveno de Los Diez Libros de Arquitectura [17]:

 

Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, (...).

 

        Si se toman tres reglas, una de tres pies, otra de cuatro y una tercera de cinco, y se las junta de modo que reunidos sus extremos de punta a punta formen un triángulo, se tendrá una escuadra perfecta.



La escuadra perfecta


Idea que corresponde al mismo concepto que Euclides en la proposición 47, o Teorema de Pitágoras, formuló:

 

        En los triángulos rectángulos el cuadrado que es hecho del lado que está opuesto al ángulo recto es igual a los dos cuadrados que son hechos de los lados que contienen el ángulo recto.


 

 


Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas

 

 

Lado del Triángulo Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
Medidas en pulgadas 80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400
Divisiones 60 x 4 partes 64 x 5 partes 100 x 4 partes


La Escuadra Perfecta


        Ha tomado 350 años descubrir una fórmula explicita que explique gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y permita reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición;

Luego la escala de representación de la pared del fondo será: 0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75.

 

Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.

 

El nombre de terna pitagórica deriva del Teorema de Pitágoras, y consiste en una secuencia ordenada de tres números enteros positivos; ab y c, que cumplen con el siguiente requisito:

 

a² + b² = c².


Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
3 4 5
90 120 150
120 160 200
103,5 138 172,5
138 184 230


Ternas pitagóricas de la escuadra perfecta


Y tal y como se ha probado en el Caso Primero, los tamaños de la anchura y altura del lienzo original de Las Meninas miden;


  unidades pulgadas metros medidas castellanas
Altura 155,25 138 3,2085 138 pulgadas / 12 = 11 pies y medio
Anchura 135 120 2,79 120 pulgadas / 12 = 10 pies


Medidas del lienzo de Las Meninas


Cantidades que, en definitiva, corresponden a dos números concretos localizados en las ternas de la escuadra perfecta de Pitágoras.

 

Pero, siempre, con la precaución que requiere estos casos tan especiales:

 

138 pulgadas X 120 pulgadas = 16560 pulgadas cuadradas; que representan el área de la superficie del lienzo de Las Meninas.

 

Y diez veces al año 1656, que es el año de este cuadro de la era común.



Medidas reales de la Habitación del Príncipe

 

Adecuación del tamaño 138 X 120 pulgadas sobre la superficie real de la pared del fondo.




Conclusión:

 

        Como hemos explicado en líneas anteriores: En nuestro plano cuadriculado una pulgada equivale a 1,125 unidades.

 

En España, por ley del 19 de julio de 1849, se adopta el metro, que es igual a la diezmillonésima parte del arco de meridiano que va del polo Norte al Ecuador.

 

La Vara Castellana mide tres pies, es decir; 0,837 metros, si un Pie Real mide 0,279 metros; y, bajo esta misma premisa, un metro equivale a 43 pulgadas y 1/93, cuando debería representar una cifra, más o menos, entera, es decir; 43 pulgadas.

 

Mientras que valiendo la pulgada castellana 0,02325 metros, Velázquez aseguró el tamaño de la pared del fondo pintada en Las Meninas, para así igualar la realidad física representada en esta pintura utilizando el siguiente procedimiento de medición:


Formato Valor de la pulgada La altura   Pulgadas por unidad   Altura en Pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 59,4 unidades X 0,888888888 = 52 pulgadas y 12/15 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros

 

La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros.

 













notas a pie de página







1 - Página 444 - Iuan Perez de Moya - ARITHMETICA PRACTICA, Y SPECVLATIUA - Salamanca - 1562.


2 - Página 33 - Roberti Fludd, alias DE FLVCTIBUS - Philoſophia ſacra et vere Chriſtiana Seu Meteorologia Cosmica. Francofurti. 1626.


 

  +. Tenebræ abſolutæ. a. Lux prima creatura. b. Prima mixtio lucis cum tenebris. c. Lux. d. Aqua. 2. Tenebræ ſeu ſecundus compoſitionis ſimplicis gradus. e. Ignis. f. Aer. g. e. Aqua. 4. Terra : Radix. 2. Quadratum. 4.

  Vbi numerus binarius eſt radix materialis, ex qua primun quadratum. 4. elementa indicans deriuatur, ita etiam in corporum perfecte mixtorum productione totidem gradus interſunt, in motu naturæ, à quadrato ſeu 4. elementis, ad cubum ſeu elementarum perfecte miſtum, qui omnes gradus corpora imperfecte miſta reuera ſunt dicenda, vtpote qui à ſimplicitate elementorum mixtionem verſus progrediuntur, progreſſio igitur à quadrato ad cubum eſt huiuſmodi.


En el siglo II Diógenes Laercio cita el libro Suceſſionibus philoſophorum de Alejandro Polyhistor, del siglo I, que relata cómo fue construida la cosmología pitagórica:

 

Alexandro, en las Sucesiones de los Filósofos, señala acerca de los escritos Pitagóricos lo siguiente: El principio de todas las cosas es la unidad, y de ésta procede la dualidad, que es indefinida, y depende, como materia, de la unidad que la causa. Así, la numeración proviene de la unidad, y de la dualidad indefinida surgen los números; de los números provienen los puntos; de éstos las líneas; de las líneas las figuras planas; de las figuras planas los cuerpos sólidos, los cuales constan de los cuatro elementos; fuego, agua, tierra y aire, que se intercambian y se transforman totalmente el uno en el otro, y de ellos se engendra el mundo animado, intelectual, esférico, con la tierra como centro, también esférica, y habitada en su interior.

 

Refert autem Alexander in Suceſſionibus philoſophorum, & iſta ſe in Pythagoricis commentarijs notaſſe, principium quidem omnium eſſe unitatem. Porrò ex unitate indefinitam dualitatem, ueluti materiam autori unitate ſubieciſſe. Ex monade verò ac inde terminata dualitate numeros gigni, ex numeris puncta, ex punctis lineas, ex quibus planæ figuræ conſtent. Ex planis autem ſolidas figuras, ex quibus item ſolida conſiſtere corpora, quorum & quatuor elementa eſſe, ignem, aquam, terram, aerem, quæ per omnia ſe mutent ac uertant, ex quibus ſieri mundum animatum, intelligibile, rotundum, mediam terram continentem; quam & ipſam rotundam eſſe & globoſam, ac circum habitari.

 

Página 343 – Lib. VIII.  PYTHAGORAS. Diogenis Laertii. De vita et moribvs philosophorvm, libri X. Lugduni. M. D. LIX.


3 - René Descartes, 1596-1650, filósofo y matemático francés latinizó su nombre como Renatus Cartesius, de donde procede la denominación de sistema y coordenadas cartesianas de la Geometría Analítica que él ideó.

 

En 1637 Descartes publicaba los hallazgos de la Geometría Analítica usando un conjunto de ejes y coordenadas en un apéndice al Discurso del Método; esta nueva Geometría facilitaba representar las rectas, curvas y figuras geométricas mediante el valor numérico de las expresiones algebraicas.

 

Los diagramas y coordenadas cartesianas fueron a partir de René Descartes una de las herramientas más empleadas y útiles en el estudio de las matemáticas.

 

Recordaremos en qué consiste un diagrama cartesiano usado en un plano de dos dimensiones:

 

Diagrama cartesiano

 

El plano se divide en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí, la horizontal y la vertical respectivamente.

Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

 

Las rectas se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero.

En la recta horizontal, llamada eje de abscisas o eje de las x, al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,..., y hacia la izquierda el -1, -2,... y así sucesivamente en ambas direcciones.

De forma análoga se procede con la recta vertical, llamada eje de ordenadas o eje de las y, al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia arriba el 1,2,...., y hacia abajo el -1,-2,... y así sucesivamente en ambas direcciones.

De modo que tenemos la situación del dibujo.



Así pues, cada punto del plano se localiza mediante dos números, uno correspondiente a cada eje, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (,).

Dicho par de números se llaman coordenadas.

Y se obtienen, por ejemplo, de la siguiente manera:

 

El punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las “x”; una vez aquí, subimos paralelamente al eje de las “y”, hasta el lugar marcado en este eje con el 3.

De igual forma para el punto (-3,2), nos situamos en la marca -3 del eje “x” y subimos verticalmente hasta el 2 del eje “y”.

 

Como hemos mencionado anteriormente el (0,0) es el punto donde se cortan los dos ejes, llamado origen de coordenadas, y en el plano lo hemos designado con la letra E.



Dos centros en la pared del fondo:

  • Uno el punto E, centro de coordenadas,

  • y el otro trata del centro de la pared del fondo.

0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen a:


0,3/1,125 = 0,266666666, es decir; 4/15 de pulgada.


0,3 unidades en el mundo real de la pared del fondo equivalen a:


0,3 unidades X 3.333333333 pulgada por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.

 

Más detalles.

 


 

4 - El esquema del tamaño de las distintas proporciones, de la anchura y altura de la pared del fondo de Las Meninas, parte de un punto, es decir; desde el punto de fuga, coordenada X = [18 , -12], pero su trazado está basado en el Primer Teorema de Thales de Mileto, que vivió hacia el año 600 a. de C.

 

Primera Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la anchura de 72 unidades de la pared del fondo.

 

Formato Unidades La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
La anchura de la Habitación del Príncipe mide 5,58 metros.
30 9/30 = 0,3 72 unidades X 3,333.333 = 240 pulgadas 30 X 8 X 0,02325 = 5,58 metros
29 9/29 72 X 3,222.222 = 232 29 X 8 X 0,02325 = 5,394
28 9/28 72 X 3,111.111 = 224 28 X 8 X 0,02325 = 5,208
27 9/27 = 0,333.333 72 X 2,999.999 = 216 27 X 8 X 0,02325 = 5,022
26 9/26 72 X 2,888.888 = 208 26 X 8 X 0,02325 = 4,836
25 9/25 = 0,36 72 X 2,777.777 = 200 25 X 8 X 0,02325 = 4,65
24 9/24 = 0,375 72 X 2,666.666 = 192 24 X 8 X 0,02325 = 4,464
23 9/23 72 X 2,555.555 = 184 23 X 8 X 0,02325 = 4,278
22 9/22 72 X 2,444.444 = 176 22 X 8 X 0,02325 = 4,092
21 9/21 72 X 2,333.333 = 168 21 X 8 X 0,02325 = 3,906
20 9/20 = 0,45 72 X 2,222.222 = 160 20 X 8 X 0,02325 = 3,72
19 9/19 72 X 2,111.111 = 152 19 X 8 X 0,02325 = 3,534
18 9/18 = 0,5 72 X 1,999.999 = 144 18 X 8 X 0,02325 = 3,348
17 9/17 72 X 1,888.888 = 136 17 X 8 X 0,02325 = 3,162
16 9/16 = 0,5625 72 X 1,777.777 = 128 16 X 8 X 0,02325 = 2,976
15 9/15 = 0,6 72 X 1,666.666 = 120 15 X 8 X 0,02325 = 2,79
14 9/14 72 X 1,555.555 = 112 14 X 8 X 0,02325 = 2,604
13 9/13 72 X 1,444.444 = 104 13 X 8 X 0,02325 = 2,418
12 9/12 = 0,75 72 X 1,333.333 = 96 12 X 8 X 0,02325 = 2,232
11 9/11 72 X 1,222.222 = 88 11 X 8 X 0,02325 = 2,046
10 9/10 = 0,9 72 X 1,111.111 = 80 10 X 8 X 0,02325 = 1,86
9 9/9 = 1 72 X 0,999.999 = 72 9 X 8 X 0,02325 = 1,674
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros
La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros.
7 9/7 72 X 0,777.777 = 56 7 X 8 X 0,02325 = 1,302
6 9/6 = 1,5 72 X 0,666.666 = 48 6 X 8 X 0,02325 = 1,116
5 9/5 = 1,8 72 X 0,555.555 = 40 5 X 8 X 0,02325 = 0,93
4 9/4 = 2,25 72 X 0,444.444 = 32 4 X 8 X 0,02325 = 0,744
3 9/3 = 3 72 X 0,333.333 = 24 3 X 8 X 0,02325 = 0,558
2 9/2 = 4,5 72 X 0,222.222 = 16 2 X 8 X 0,02325 = 0,372
1 9/1 = 9 72 X 0,111.111 = 8 1 X 8 X 0,02325 = 0,186
0 9/0 = 0 72 X 0,000.000 = 0 0 X 8 X 0,02325 = 0


Tabla del formato de la anchura de la pared del fondo


 


Pulgadas reales sobre la superficie de Las Meninas.


 

Segunda Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la altura de 59,4 unidades de la pared del fondo.

 

Formato Unidades La altura   Pulgadas por unidad   Altura en Pulgadas Tamaño en metros
La altura de la Habitación del Príncipe mide 4,6035 metros.
30 9/30 = 0,3 59,4 unidades X 3,333.333 = 198 pulgadas 30 X 6,6 X 0,02325 = 4,6035 metros
29 9/29 59,4 X 3,222.222 = 191,4 29 X 6,6 X 0,02325 = 4,45005
28 9/28 59,4 X 3,111.111 = 184,8 28 X 6,6 X 0,02325 = 4,2966
27 9/27 = 0,333.333 59,4 X 2,999.999 = 178,2 27 X 6,6 X 0,02325 = 4,14315
26 9/26 59,4 X 2,888.888 = 171,6 26 X 6,6 X 0,02325 = 3,9897
25 9/25 = 0,36 59,4 X 2,777.777 = 165 25 X 6,6 X 0,02325 = 3,83625
24 9/24 = 0,375 59,4 X 2,666.666 = 158,4 24 X 6,6 X 0,02325 = 3,6828
23 9/23 59,4 X 2,555.555 = 151,8 23 X 6,6 X 0,02325 = 3,52935
22 9/22 59,4 X 2,444.444 = 145,2 22 X 6,6 X 0,02325 = 3,3759
21 9/21 59,4 X 2,333.333 = 138,6 21 X 6,6 X 0,02325 = 3,22245
20 9/20 = 0,45 59,4 X 2,222.222 = 132 20 X 6,6 X 0,02325 = 3,069
19 9/19 59,4 X 2,111.111 = 125,4 19 X 6,6 X 0,02325 = 2,91555
18 9/18 = 0,5 59,4 X 1,999.999 = 118,8 18 X 6,6 X 0,02325 = 2,7621
17 9/17 59,4 X 1,888.888 = 112,2 17 X 6,6 X 0,02325 = 2,60865
16 9/16 = 0,5625 59,4 X 1,777.777 = 105,6 16 X 6,6 X 0,02325 = 2,4552
15 9/15 = 0,6 59,4 X 1,666.666 = 99 15 X 6,6 X 0,02325 = 2,30175
14 9/14 59,4 X 1,555.555 = 92,4 14 X 6,6 X 0,02325 = 2,1483
13 9/13 59,4 X 1,444.444 = 85,8 13 X 6,6 X 0,02325 = 1,99485
12 9/12 = 0,75 59,4 X 1,333.333 = 79,2 12 X 6,6 X 0,02325 = 1,8414
11 9/11 59,4 X 1,222.222 = 72,6 11 X 6,6 X 0,02325 = 1,69795
10 9/10 = 0,9 59,4 X 1,111.111 = 66 10 X 6,6 X 0,02325 = 1,5345
9 9/9 = 1 59,4 X 0,999.999 = 59,4 9 X 6,6 X 0,02325 = 1,38105
8 9/8 = 1,125 unidades 59,4 unidades X 0,888.888 = 52,8 pulgadas 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros
La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros.
7 9/7 59,4 X 0,777.777 = 46,2 7 X 6,6 X 0,02325 = 1,07415
6 9/6 = 1,5 59,4 X 0,666.666 = 39,6 6 X 6,6 X 0,02325 = 0,9207
5 9/5 = 1,8 59,4 X 0,555.555 = 33 5 X 6,6 X 0,02325 = 0,76725
4 9/4 = 2,25 59,4 X 0,444.444 = 26,4 4 X 6,6 X 0,02325 = 0,6138
3 9/3 = 3 59,4 X 0,333.333 = 19,8 3 X 6,6 X 0,02325 = 0,46035
2 9/2 = 4,5 59,4 X 0,222.222 = 13,2 2 X 6,6 X 0,02325 = 0,3065
1 9/1 = 9 59,4 X 0,111.111 = 6,6 1 X 6,6 X 0,02325 = 0,15345
0 9/0 = 0 59,4 X 0,000.000 = 0 0 X 6,6 X 0,02325 = 0


Tabla del formato de la altura de la pared del fondo


 

5 - La unidad queda dividida gráficamente en 10.000 partes; y la superficie de la foto de Las Meninas mide: 133,6250 unidades por 153,9375 unidades.

Operaremos de la siguiente manera; primero multiplicaríamos a ambas cantidades o lados por 10.000, y después a estos dos resultados obtenidos los multiplicaremos entre sí para calcular los puntos cartesianos localizados sobre la superficie de este plano.

 

Es decir; hemos dividido la imagen de Las Meninas en 11336.250, un millón trescientos treinta y seis mil doscientos cincuenta posibles abscisas horizontales, por 11539.375, un millón quinientos treinta y nueve mil trescientos setenta y cinco posibles ordenadas verticales, para calcular los resultados que aportamos.

 

Hablaríamos de esta posible gran cantidad de puntos localizados sobre el óleo de Las Meninas: 22056.9891843.750.


 

6 - Entre una a dos pulgadas del ancho del perímetro de Las Meninas se ocultaba en el canto de la madera de su primer bastidor. Esta cantidad oscila, según el lado que analicemos, respecto a la superficie efectiva del área de trabajo del pintor.

 

        Los reentelados de los cuadros implican la fijación de la pintura y su soporte sobre otra tela a través de diferentes materiales adhesivos. La unión de una tela a otra se realiza mediante calor. La delicadeza y la perfección con las que el restaurador realice esta operación influyen en la mayor o menor transformación de las pinturas.

 

Página 61 - Nota 6 - VELÁZQUEZ, TÉCNICA Y EVOLUCIÓN - Carmen Garrido Pérez - MUSEO DEL PRADO. 1992.


7 - Veamos un detalle del estudio de las medidas de este Caso Primero:



1º Caso

El centro físico del lienzo de Las Meninas es el punto F

Es decir:

  • X = 10,125 unidades

  • Y = 0,375 unidades

El punto E es el centro absoluto de la Geometría de Las Meninas.



El punto F es el
centro de la anchura inicial de Las Meninas

  • 1º caso - En la nariz de la Infanta en la anchura de 2,79 metros, que equivale a 120 pulgadas.

  • 2º caso - Sobre el ojo izquierdo de la Infanta Margarita en la anchura de 2,76158333 metros.


8 - El orillo del lino original de Las Meninas discurre tangente a lo largo del canto derecho del moderno bastidor.


  El orillo es el borde del tejido donde los hilos transversales cambian su dirección.


9 - Recordaríamos el paralelismo entre el alzado geométrico de Las Meninas y el debate en relación a la construcción de la catedral de Milán en 1398.

 

Expertos de varios países se centraron en la forma geométrica de elevar la catedral, algunos opinaron que AD QUADRATUM, es decir; partiendo sobre la base de un cuadrado, y otros AD TRIANGULUM, es decir; partiendo de un triángulo equilátero.

 

Finalmente, el asesoramiento del matemático Gabriele Stornaloco, de Piacenza, concibió el alzado principal y la sección transversal AD TRIANGULUM, pero esta decisión planteaba el problema de medir la altura en múltiplos y submúltiplos de √3; y los arquitectos, que manejaban un control de proporciones basado en números enteros, no podrían saber la altura de antemano, sino en el curso de la construcción.


10 - 12 [ Urb. 19b, 20a ] DE COMO LA ASTROLOGÍA NACE DEL OJO, PORQUE EN EL OJO ES ENGENDRADA

 

Página 41 - Tratado de Pintura – Leonardo da Vinci. Editora Nacional. Ángel González García.


11 - Es significativo que Velázquez poseyera el libro de Geometría de Andrés García de Céspedes, impreso en 1606.

La portada de este libro reza así:

 

        Libro de instrumentos nuevos de Geometría muy necesarios para medir distancias, y alturas, sin que intervengan números, como se demuestra en la práctica (...).

 

Página 138, Catálogo de Pedro Ruiz Pérez: De la Pintura y las Letras. La Biblioteca de Velázquez, editado por: E. P. G. Conserjería de Cultura. Junta de Andalucía.

 

Los únicos números a tratar en Las Meninas estarían ya resueltos en el trazado primoroso de una impecable cuadrícula sobre el lienzo.

John F. Moffit puntualiza sobre este asunto:

 

        El encuadre arquitectónico de Las Meninas, identificado en nuestra ya publicada investigación, fue recreado con absoluta precisión, y por ello, e indudablemente, con la ayuda de algún tipo de ingenio mecánico. De acuerdo con ello, como nosotros creemos ( y la prueba absoluta probablemente requeriría raspar el cuadro hasta la preparación ) , Velázquez debió de cubrir primeramente el lienzo con un sistema lineal o de rejilla ( probablemente impuesto sobre la superficie con finas líneas de carboncillo ) y casi con seguridad con retículas individuales de ½ o un pie para cada subcuadrado ( 1 pie = 1/3 de vara = 0,278 metros ) . Esta retícula correspondería a la plantilla de la pantalla cuadriculada de tamaño reducido, que utilizaban tradicionalmente los pintores, el marco de perspectiva, esto es, “el velo” descrito primeramente por León Battista Alberti ( en su Della Pintura, libro que estaba en la biblioteca de Velázquez ) . Dados algunos precedentes históricos y físicos, casi con seguridad esta retícula pudo ser grabada en la placa visual de una cámara oscura.

 

Página 182 - Anatomía de Las Meninas; realidad, ciencia y arquitectura. Boletín del Museo del Prado. Septiembre-Diciembre 1986.

 

Nuestro comentario

 

Según los cálculos de John F. Moffit media vara mediría 0,4175 metros.

En este nuevo plano 3 unidades es el equivalente al lado de cada uno de los cuadraditos que usamos, y miden el resultado de dividir 3,10 metros, la altura de la rejilla de 150 unidades, entre 50 cuadraditos, es decir; 0,062 metros; lo que representaría que cada cuadradito mediría, entonces, 2 pulgadas y 2/3 de pulgada.


Comprobación:

Por conveniencia matemática, usamos el pie con un valor de 0,279 metros.

 

Si un Pie Real, que son 12 pulgadas, es equivalente a 0,279 metros, 0,062 metros equivaldrá al resultado que buscamos.


12 pulgadas

0,279 metros

2,666666666 pulgadas equivalente a 2 pulgadas y 2/3 de pulgada

0,062 metros



Divisiones de la vara castellana


Sistema castellano vara pie palmo pulgada línea punto milímetros unidades
vara 1 3 4 36 432 5184 837 40,5
pie   1 4/3 12 144 1728 279 13,5
palmo     1 9 108 1296 209,25 10,125
pulgada       1 12 144 23,25 1,125
línea         1 12 1,9375 0,09375
punto           1 0,16145833 0,0078125


Equivalencias entre las medidas castellanas, el sistema métrico y la unidades.


Hemos constatado que a la altura o lado de la rejilla de 150 unidades de Las Meninas le corresponde; 3 varas, 2 pies, 1 pulgada y 4 líneas.

La suma de estas cantidades, traducida a nuestro sistema de trabajo, como hemos ya señalado, queda representada por 150 unidades.

No confundamos esta rejilla de ayuda, de 150 unidades, con la otra rejilla de 152 unidades.

La rejilla de 152 unidades es el verdadero mapa al que nos supeditamos; y es donde reposan los 64 cuadrados que cubren, adecuadamente, a la composición pictórica, manteniendo en su sitio a todas las esferas del Árbol Sagrado de la Vida.


Sistema castellano cantidad unidades total en unidades operación total en metros del lado de la rejilla
varas 3 40,5 121,5 3 X 3 X 0,279 2,511
pies 2 13,5 27 2 X 0,279 0,558
pulgadas 1 1,125 1,125 1 X 0,279/12 0,02325
líneas 4 0,09375 0,375 4 X 0,279/12/12 0,00775
      150   3,10 metros.


Demostración en base a un pie igual a 0,279 metros




El Pie Real equivale a 13,5 unidades en la rejilla de trabajo.

 

   Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas.

 

 

La historia:

 

        En el año 1567, tras fracasar el Ordenamiento de Montalvo en 1484, Felipe II había promulgado la «Nueva Recopilación de las Leyes de España» para acabar con el caos legislativo.

Este Código recopilado de las Leyes del Fuero Real, de las 18 Leyes de Toro, del Ordenamiento de Alcántara y el de Montalvo, incluye la pragmática dictada por el rey prudente desde El Escorial, 24 de junio de 1568, en la que establece que:

 

           (...) la vara castellana que se ha de usar en todos estos reynos, sea la que hay, y tiene, la ciudad de Burgos (...).

 

En el Museo de Aparatos del Centro Geográfico del Ejército de Tierra existen dos patrones del pie de Burgos; uno de ellos procedente del Cuerpo Nacional de Ingenieros y el otro del Cuerpo del Estado Mayor del Ejército.

Sus nombres concretos son:

Estos dos viejos patrones castellanos están divididos en dedos y doceavos de dedo, cuya equivalencia sería:

1 pie = 16 dedos = 192 doceavos de dedo = 0,278635 m.

1 doceavo de dedo = 1,451 mm.


12 - Análisis del triángulo equilátero según la anchura del óleo de Las Meninas.

 

133,625 X 2 / 3 = 154,2968594... unidades.

 

154,2968594... unidades / 1,125 unidades por pulgada = 137,1527639... pulgadas.

 

137,1527639... pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 3,188801761... metros.

 

3,188801761... metros correspondería a la altura de Las Meninas.

133,5 X 2 / 3 = 154,1525218... unidades.

 

154,1525218... unidades / 1,125 unidades por pulgada = 137,0244639... pulgadas.

 

137,0244639... pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 3,185818785... metros.

 

3,185818785... metros correspondería a la altura de Las Meninas.

 


13 - Boletín del Museo del Prado. Mayo-agosto 1984. La restauración de Las Meninas de Velázquez. Manuela B. Mena Marqués.


14 - Tablas de medidas de las posibles anchuras y alturas del lienzo de Las Meninas.



15 - Página 202 - Libro IX - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradutti et commentati da Monsignor Barbaro eletto patriarca d'Aquileggia. Venecia. MDLVI.

 

        Hauendo queſto Pithagora ritrouato, non dubitando di non eſſer ſtato in quella inuentone dalle Muſe ammonito riferendole grandisſime gratie ſi dice, che le ſacrificaſſe uittime, & quella ragione come in molte coſe, & in molte miſure è utile, coſi ne gli edificij per fare le ſcale, accioche ſiano i gradi di proportionata miſura, e molto ſpedita, perche ſe l’altezza del Palcho da i capi della trauatura al liuello, & piano da baſſo ſerà in tre parti diuiſa, la ſceſa delle ſcale ſerà cinque parti di quelle con giuſta larghezza de i fuſti, e, tronchi; perche quanto grandi ſeranno le tre parti dalla ſomma trauatura al liuello di ſotto, quattro di quelle ſi hanno à tirare in fuori, & ſcoſtarſi dal dritto, perche coſi moderate ſeranno le impoſte de, i, gradi, & delle ſcale, & ancho di tal coſa la forma ſerà diſſegnata.

 

Y escribe el español Iuan Perez de Moya en la página 95 - Tratado de Geometria Practica y Speculatiua - Alcala - M. D. LXX. III..

 

 

        De otro modo podras prouar ſi es vna eſquadra perfecta. Abre el compas en vna quantidad conueniente, y contando en el vn lado, ò linea de la eſquadra (començando del punto a.) tres tamaños ſemejantes à la diſtancia de la abertura del compas, como en la linea a. c. de la ſiguiente figura denotan las letras d. e. f.

 

Luego toma en el otro lado, ò linea a. b. quatro tamaños ſemejantes à eſtos como denota g. h. i. k. Saca agora vna linea recta deſde el punto f. haſta el punto k. y ſi eſta linea tuuiere cinco tamaños ſemejantes a los tres que tomaſte en el lado a. c. ò a los quatro del lado a. b. la tal eſquadra ſera verdadera, y ſi ay menos, o mas tamaños de cinco eſtara falſa, como ſe prueua por la penultima del primero de Euclides. Porque ſi el angulo a. es recto, el quadrado de la linea a. f. y a. k. ha de ſer ygual al quadrado de la linea f. k. que es lado opueſto al dicho angulo recto, pues ſi el lado a. f. tiene tres tamaños, y en el a. k. tiene quatro, la ſumma de los quadrados deſtos numeros 3. y 4. es 25. Luego el otro lado f. k. es neceſſario que tenga cinco tamaños, para que ſu quadrado haga veynte y cinco, que es lo que haze la ſumma de los quadrados de los otros lados que comprehenden el angulo recto. Ha ſe dicho eſto aquí porque como con eſte inſtrumento ſe ha de moſtrar medir diſtancias, es bien ſaberle hazer.


16 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

 

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.


 

Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar.


Demostración


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.


17 - Página 349 - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradotti & commentati da Monſ. Daniel Barbaro eletto Patriarca d´Aquileia, da lui riueduti & amplati; & hora in piu commoda forma ridotti. In Venetia, MDLXVII.

 

Libro IX – Cap. II.

Della ſquadra inuentione di Pitagora per formare l´angulo giusto.

 

Pitagora ſimilmente dimoſtrò la ſquadra ritrouata ſenza opera di artefice alcuno, & fece chiato con quanto grande fatica i fabri facendola, a pena la poſſono al giuſto ridurre. Queſta coſta con ragioni, & uie emendata, da ſuoi precetti ſi manifeſta: perque ſe egli ſi prenderà tre regole, una di piedi tre, l´altra di quattro, la terza di cinque, & queſte regole compoſte ſiano, che con i capi ſi tocchino inſieme facendo una figura triangulare, condurranno la ſquadra giuſta.




 

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