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[ resolución gráfica 1280 X 1024 ] |
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[ resolución gráfica 1280 X 1024 ] |
Sabíamos que sería
difícil lograr que nuestras expectativas se
volvieran ciertas; las herramientas adecuadas, y
el tiempo de estudio necesario, han sido la clave del
perfeccionamiento de un método aritmético y geométrico exacto.
Si tomamos a Las Meninas como modelo de gran inventiva, se deduce de su autor el fruto del provecho de sus saberes, y que, al igual que Fidias en la escultura, hizo del guarismo la armonía de su estilo naturalista.
El número, como principio omnipresente en el Universo, ordena el arte de Las Meninas.
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De Diego Velázquez y de Luca Pacioli. |
A finales del siglo XV, Luca Pacioli en su libro DE DIVINA PROPORTIONE [1], título que hace referencia a la proporción del número áureo, escribe:
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De ahí que entre los sabios se acostumbra a decir, según proverbio común: Aurum probatur ignis et ingenium mathematicis, es decir, que la bondad del oro la demuestra el fuego y la calidad de los ingenios las disciplinas matemáticas. Y esta sentencia pretendía expresar que el genio apto para las matemáticas lo es también para las otras ciencias (...).
(...) Platón negaba, no sin razón, la entrada a los que ignorasen la geometría en su celebérrimo gimnasio, sobre cuya puerta principal colocó, en letras grandes y bien inteligibles, una breve inscripción con estas formales palabras: Nemo huc geometriae expers ingrediatur, es decir, que no entrase quien no fuese un buen geómetra; e hizo esto porque en la geometría se encuentra oculta toda otra ciencia. |
A pesar de que Velázquez confirme en esta obra de arte su interés por todo tipo de efecto lumínico, el objetivo de este análisis es, asimismo, establecer la diferencia entre la imagen pintada del natural, y la de aquella suscitada en algunas inequívocas pinceladas.
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En Las Meninas, la Puerta de madera semiabierta abre paso hacia una pared lejana, y a una Geometría donde se encuentra oculta toda otra ciencia, como así señaló Luca Pacioli, y Diego Velázquez expresó a la española.
En esta área de Las Meninas se representa la presencia de uno de los diez Sefirot de la Kabala, la Sefira número siete, situada ante el retrato de la menina Isabel de Velasco y la silueta del Aposentador José Nieto, y que, ordenada por Geometría, custodia la efigie del protagonista más importante de la tradición cabalística.
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El patriarca Moisés Este nuevo personaje comparte con esta menina la posición de su oreja, tiene apariencia masculina, de tez morena y avanzada edad, poblada barba agrisada, de aspecto bíblico, mira hacia la luz que entra por la ventana de la derecha, tiene cara de suplicar y de estar en trance a la par, los toques de pintura blanca y oscura, además de ser texturados como pelos, tienen el añadido de ser componentes caligráficos hebraicos. |
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Conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino consolidado en la cabeza de la menina que analizamos, porque, ya que los antiguos cabalistas situaron en las esferas del Árbol de la Vida los patriarcas bíblicos según su naturaleza, Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó representado al pie de la columna derecha.
Veamos los muchos contenidos simbólicos, que se ocultan tras la menina Isabel de Velasco, en la Sefira nº 7, Nectzah, La Victoria, según argumenta en latín Athanasius Kircher.
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Septimum veſtimentum Dei ſeu Sephirah dicitur נצח Netſah, id eſt, triumphus, victoria, ſeu æternitas, cui nomen יהוה צבאות Adonai Tſebaoth. Eius attributa ſunt, Crus, pes, columna dextera, rota magna, viſio Prophetæ. Canalis eſt, per quem Deus influit in Principatus, & per Intelligentiam Haniel in Cœlum Veneris. Plantarum cauſa & origo eſt. |
Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.
E inesperada reminiscencia cabalística:
רֹאשׁוֹ, כֶּתֶם פָּז; קְוֻצּוֹתָיו, תַּלְתַּלִּים, שְׁחֹרוֹת, כָּעוֹרֵב׃
Su cabeza es un tesoro de oro fino, sus mechones le cuelgan, negros como el cuervo.
Cantar de los Cantares 5:11
Esta visión del profeta Moisés conmueve profundamente en la primera toma de contacto, y nos hace exaltar con ganas al pintor español:
Gracias, Diego Velázquez
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El centro de La Sefira nº 7, Nectzah, La Victoria, se sitúa en la coordenada; (24, -12).
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No obstante, la percepción de estas Esferas oscila entre la certeza de Su inmaterialidad y el de Su vínculo con el mensaje interno de Las Meninas.
Las diez esferas + una enaltecen el acto social pintado por Velázquez, y convocan una entidad subyacente denominada:
La Cara mística de Dios.
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Los diez Sefirot constituyen las distintas etapas del proceso creativo divino, que se simboliza en nuestro mundo físico a través del Árbol de la Vida.
Es por tanto verdad que en Las Meninas están sugeridas cuestiones más que sagradas.
La Geometría de Las Meninas se manifiesta simbólica en su espacio aéreo a través de los 10 Sefirot + Dahat, y, de igual suerte, que a finales del Siglo XV en un retrato anónimo de Luca Pacioli, se representa un poliedro colgado de un cordel en una obra que se exhibe en el Museo de Capodimonte de Nápoles desde el año 1957.
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Kepler llamó a este poliedro el rhombicuboctahedron. |
Retrato de Luca Pacioli
Un pintor de la categoría de Velázquez, que anhelaba abrir las puertas de la Escuela de Platón, tuvo la oportunidad de ampliar sus conocimientos en la Academia de Matemáticas de Madrid [2].
En esta época se consideraba a la Aritmética y Geometría el fundamento del Arte liberal de las Matemáticas.
Miguel Geronimo de Santa Cruz rememora su hallazgo de esta manera [3]:
La Practica de Aritmética, como afirma Juan de Sacrovoſco, (matemático del siglo XV), fue dada compedioſa en luz de vn Filoſofo llamado Algo, y por aqueſta cauſa fue llamado el Guariſmo.
La Aritmética que estudió Velázquez se componía de cinco reglas o guariſmos principales:
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No ſe han de contentar los hombres con ſolamente ſaber las dichas cinco reglas principales, aunque con ellas ſe practican todas las quentas del mundo, mas es meneſter ſaberſe aprovechar de ellas, y aplicarlas donde fuere meneſter, cada vna en ſu caso, y lugar, y ſaber obrar con ellas las reduciones de las monedas, y de los quebrados, y como ſe ha de hazer vna regla de tres, ó vna regla de compañias, y las demás queſtiones, que ſe ſuelen ofrecer en el Arte mercancial, y en otras Artes; porque ſi no ſaben la practica, ni vſar de las dichas cinco reglas, podré comparar las tales, que le ſirven al Contador, como las colores, y matizes al Pintor, las quales colores no baſta ſaberlas hazer, ni tenerlas diſtintas en los vaſos, y conchas, ſino que ha de ſaber hazer vna figura, ó imagen, practicando con artificio la pintura que quiere pintar, aplicando para cada coſa, las colores convenientes, é irlas aſſentando con ſu pincel, y ſaberse aver con ellas, para pintar vnos lexos, ó vn arbol, ó lo que ſe le ofrece; y ſi no ſupieſſe el Arte de pintar, ó la proſpectiva, poco aprovechará ſaber hazer las colores; mas ſabiendo lo vno, y lo otro, ſería Pintor perfecto; y aſsí el que no deprendiere mas de las cinco reglas principales de quentas, gozará de la flor, y no del fruto, ni del fin que pretende, y ſi lo consiguiere, ſerá con mucho trabajo, y raras vezes. |
Tablas de cálculo geométrico
En la medición de la superficie de
este universo de
pintura
ha sido necesario recuperar del olvido el viejo sistema de
medidas castellano, aunque para su manipulación habría que distinguir tres tipos de
normas
[4]:
La pulgada castellana se divide en 12 líneas.
La división de la pulgada, que hemos usado para adjudicar a la rejilla de trabajo la unidad, la hemos fraccionado en 9 partes.
Asimismo; la medición del tamaño real de la pared del fondo se establece fraccionando a la pulgada castellana en 15 partes en la rejilla de trabajo.
Básicamente, estas tres normas dan paso al proceso de medir cualquier esquina de Las Meninas con realidad, profundidad y exactitud [5].
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El Pie Real equivale a 13,5 unidades en la rejilla de trabajo |
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Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas. |
1125 unidades, que le corresponde el valor de 1000 pulgadas, es un número de Aquiles:
72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125...
Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2.
Expresado de otra manera:
1125 se descompone en estos dos factores: 32 X 53.
Si N es poderoso, y un número primo, p, divide a N, entonces p2 también divide a N.
E, igualmente, 72 también es un número de Aquiles; que en la Geometría de la pared del fondo de Las Meninas quedó representado en doce distintas subdivisiones en la Tabla que denominamos La Cuadrícula de Aquiles.
| LA ALTURA |
LA ANCHURA |
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| Metros | Pulgadas | Unidades | Cuadrícula |
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Cuadrícula | Unidades | Pulgadas | Metros | ||||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 72 x 0,825 | 72 x 1 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 36 x 1,65 | 36 x 2 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 24 x 2,475 | 24 x 3 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 18 x 3,3 | 18 x 4 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 12 x 4,95 | 12 x 6 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 9 x 6,6 | 9 x 8 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 8 x 7,475 | 8 x 9 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 6 x 9,9 | 6 x 12 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 4 x 14,85 | 4 x 18 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 3 x 19,8 | 3 x 24 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 2 x 29,7 | 2 x 36 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
| 1,2276 | 52,8 | 59,4 | = | 1 x 59,4 | 1 x 72 | = | 72 | 64 | 1.488 | |||
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La Cuadrícula de Aquiles, que cubre totalmente a la pared del fondo, la llamamos El Muro de Jerusalén, y es la base geométrica del bastimento de Las Meninas.
Ante este Muro se estableció una relación de dependencia, por la que el más fuerte, el rey Felipe IV, daba protección y ennoblecía al más débil, Diego Velázquez, a cambio de comprometerse a guardar fidelidad y ejecutar, de manera segura, un trabajo cabalístico.
Ratio de la pared del fondo
59,4 unidades ÷ 72 unidades = 0,825
| Unidades | División de la pulgada en 15 partes | Pulgadas | Milímetros | Medidas reales en pulgadas |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 3,75 |
| 0,825 | 11/15 | 0,733333333 | 17,05 | 2,75 |
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En la distancia, la altura y anchura real de la pared del fondo pintada en este lienzo se pueden medir dividiendo La pulgada Castellana en 15 partes iguales.
Es indudable que Diego Velázquez afrontó el lienzo de Las Meninas con la más adecuada Geometría, Aritmética y Matemática; considerando en esta investigación, además, la suma de otras ciencias vedadas en la época del pintor español.
Y será en la misma anchura del espejo de este lienzo en donde Velázquez proponga la regia medida del Pie Real.
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Aportamos cuatro aspectos o equivalencias de cualquier medida en la aplicación de la pulgada castellana en el estudio de este lienzo.
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Cuadrícula geométrica |
Unidades de trabajo |
Medidas castellanas |
Sistema métrico |
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1 cuadradito |
3 |
pulgadas |
milímetros |
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2,666666666 |
62 |
Tenemos
bien entendido que la pulgada castellana se divide en doce partes iguales llamadas
líneas.
Y sin contrariar al sistema de medición castellano, podríamos ya decir que Velázquez fracciona a la pulgada en 9 partes para operar con la unidad en sus precisas operaciones:
8/9 de pulgada equivale a la unidad en este plano.
Asevera el bachiller Iuan Perez de Moya en su libro ARISMETICA PRACTICA, Y ESPECULATIVA. Año M. DCIX:
El fundamento, o principio de la Ariſmetica, es la vnidad, aſsi como el punto lo es de la Geometria.
Los antiguos pitagóricos comparaban a la unidad, por ser divina, con el entendimiento, mientras que a la Ciencia, fundamentada en el Axioma y en la Doctrina, llamaban dos.
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En la siguiente tabla se plasma el descubrimiento del valor de la pulgada castellana convertida a unidades; lo cual significa que nos hallamos ante la cuantía de 1,125 unidades por pulgada, o número roseta, que traduce las pulgadas castellanas en cualquier clase de sistema de medidas longitudinales, y que, con extrema exactitud, también nos pone en contacto con las dimensiones reales de Las Meninas. |
1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.
| Unidades | División de la pulgada en 9 partes | Pulgadas | Milímetros en el sistema métrico |
| 1,125 | 9/9 | 1 | 23,25 |
| 1 | 8/9 | 0,888888888 | 20,66666666 |
| 0,875 | 7/9 | 0,777777777 | 18,08333333 |
| 0,75 | 6/9 | 0,666666666 | 15,5 |
| 0,625 | 5/9 | 0,555555555 | 12,91666666 |
| 0,5 | 4/9 | 0,444444444 | 10,33333333 |
| 0,375 | 3/9 | 0,333333333 | 7,75 |
| 0,25 | 2/9 | 0,222222222 | 5,166666666 |
| 0,125 | 1/9 | 0,111111111 | 2,583333333 |
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| unidad | pulgada | milímetro |
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La pulgada fraccionada en nueve partes, que hemos denominado la división velazqueña, está en relación directa con cada una de las 12 partes, ó 12 líneas, en las que se divide la pulgada castellana, a través de las cantidades 3 y 4; números correspondientes al tamaño de los dos catetos del triángulo pitagórico o escuadra perfecta. |
| la división velazqueña | la pulgada castellana |
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| 9 partes o fracciones | 12 líneas | |
| 1/9 = 0,02325/9 = 0,002583333 metros | 1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros |
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Será, por tanto, la unidad la quien defina en Las Meninas la Aritmética y Geometría del formato y tamaño de la pared del fondo pintada en este lienzo.
Leonardo da Vinci en su Trattato della Pittura; Parte terza - De' vari accidenti e movimenti dell'uomo e proporzione di membra, define la práctica de la perspectiva en estos términos:
Precetti di pittura CCCXLIX:
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La Proſipettiua è briglia, e timone della Pittura.
La grandezza della figura dipinta dourebbe
moſtrare a che diſtanza ell'è Se tu vedi vna figura grande al naturale, ſappi che ſi dimoſtrerà eſſer preſſo all'occhio. |
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La Perspectiva es la rienda, y el timón de la Pintura. El tamaño de la figura que se pinte deberá mostrar a que distancia es observada. Y si ves una figura de tamaño natural, considera que está junto a la vista. |
Y, aplicando a la perspectiva una conveniente razón geométrica, observaríamos el tamaño de la pared del fondo de Las Meninas a través de estos guarismos:
- FORMATO 8 -
| Formato | Valor de la pulgada | La anchura | Pulgadas por unidad | Anchura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| 8 | 9/8 = 1,125 unidades | 72 unidades | X | 0,888.888 | = | 64 pulgadas | 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros |
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| Formato | Valor de la pulgada | La altura | Pulgadas por unidad | Altura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| 8 | 9/8 = 1,125 unidades | 59,4 unidades | X | 0,888.888 | = | 52 y 12/15 pulgadas | 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros |
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Si
una pulgada se divide en doce partes iguales llamadas doce
líneas, entonces,
la división
velazqueña, fraccionada en nueve partes, equivaldría a
la misma pulgada castellana de 23,25 milímetros, pero
en consonancia con el sistema de medidas implementado en el lienzo de Las Meninas.
El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros.
1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.
| Unidades | División de la pulgada en 12 líneas | Pulgadas | Milímetros en el sistema métrico |
| 1,125 | 12/12 | 1 | 23,25 |
| 1,03125 | 11/12 | 0,916666666 | 21,3125 |
| 0,9375 | 10/12 | 0,833333333 | 19,375 |
| 0,84375 | 9/12 | 0,75 | 17,4375 |
| 0,75 | 8/12 | 0,666666666 | 15,5 |
| 0,65625 | 7/12 | 0,583333333 | 13,5625 |
| 0,5625 | 6/12 | 0,5 | 11,625 |
| 0,46875 | 5/12 | 0,416666666 | 9,6875 |
| 0,375 | 4/12 | 0,333333333 | 7,75 |
| 0,28125 | 3/12 | 0,25 | 5,8125 |
| 0,1875 | 2/12 | 0,166666666 | 3,875 |
| 0,09375 | 1/12 | 0,083333333 | 1,9375 |
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| unidad | pulgada | milímetro |
Y es en este paso dónde reconoceremos la precisión del sistema de medición usado en todo momento de este análisis.
La exactitud es la capacidad de un instrumento para medir un valor cercano a la magnitud real.
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El cálculo de la profundidad
Caso aparte es la división de la pulgada
castellana en consonancia con la profundidad
de Las Meninas, es decir; con
el tamaño real de la pared del fondo medida en la distancia.
- FORMATO 30 -
| Formato | Valor de la pulgada | La anchura | Pulgadas por unidad | Anchura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| 30 | 9/30 = 0,3 unidades | 72 unidades | X | 3,333.333 | = | 240 pulgadas | 30 X 8 X 0,02325 = 5,58 metros |
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| Formato | Valor de la pulgada | La altura | Pulgadas por unidad | Altura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| 30 | 9/30 = 0,3 unidades | 59,4 unidades | X | 3,333.333 | = | 198 pulgadas | 30 X 6,6 X 0,02325 = 4,6035 metros |
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| Unidades | División de la pulgada en 15 partes | Pulgadas | Milímetros | Medidas reales en pulgadas |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 3,75 |
| 1,05 | 14/15 | 0,933333333 | 21,7 | 3,5 |
| 0,975 | 13/15 | 0,866666666 | 20,15 | 3,25 |
| 0,9 | 12/15 | 0,8 | 18,6 | 3 |
| 0,825 | 11/15 | 0,733333333 | 17,05 | 2,75 |
| 0,75 | 10/15 | 0,666666666 | 15,5 | 2,5 |
| 0,675 | 9/15 | 0,6 | 13,95 | 2,25 |
| 0,6 | 8/15 | 0,533333333 | 12,4 | 2 |
| 0,525 | 7/15 | 0,466666666 | 10,85 | 1,75 |
| 0,45 | 6/15 | 0,4 | 9,3 | 1,5 |
| 0,375 | 5/15 | 0,333333333 | 7,75 | 1,25 |
| 0,3 | 4/15 | 0,266666666 | 6,2 | 1 |
| 0,225 | 3/15 | 0,2 | 4,65 | 0,75 |
| 0,15 | 2/15 | 0,133333333 | 3,1 | 0,5 |
| 0,075 | 1/15 | 0,066666666 | 1,55 | 0,25 |
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| unidad | pulgada | milímetro |
DEMOSTRACIÓN
La
escala de representación de la pared del fondo de
Las Meninas
es de: 1/3,75 =
0,266666666...
Hacer una demostración matemática no es tarea fácil, aunque, en el caso particular del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas, se puede comprobar, matemáticamente, a través del sencillo procedimiento de dividir la pulgada en quince partes iguales expresadas en unidades, y, seguidamente, multiplicar estas fracciones por una constante geométrica aritmética de 3,333333333… pulgadas por unidad.
3,333333333… pulgadas por unidad representa un valor de tipo permanente, al menos dentro del contexto o situación para el cual ha sido empleado.
Esa comprobación sólo será válida para los casos concretos que se comprueben.
Es decir; en todos los casos que hablemos del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas de Velázquez.
Nos serviremos de un ejemplo para explicar cómo funcionan estos números:
| Unidades | División de la pulgada en 15 partes | Pulgadas | Milímetros | Medidas reales en pulgadas |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 3,75 |
Tomemos, en la columna de las unidades, la cantidad de 1,125, ahora multipliquemos 1,125 unidades por 3,333333333… pulgadas por unidad, el resultado se reflejará en la columna denominada:
Medidas reales en pulgadas, cierto, la solución es la esperada; 3,75 pulgadas castellanas.
Añadimos:
0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen en el mundo real de la pared del fondo a:
0,3 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.
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Unidades sobre la rejilla de trabajo |
Pulgadas sobre la pared del fondo |
Milímetros en el sistema métrico |
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1,125 |
3,75 |
87,1875 |
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1 |
3,333333333 |
77,5 |
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0,3 |
1 |
23,25 |
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Unos números que se adaptan al cristalino del ojo en el acto espontáneo de mirar, y que, con científica sencillez, coinciden con la apertura del ángulo visual de Las Meninas.
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La pulgada fraccionada en quince partes también está en relación directa con cada una de las 12 partes, ó 12 líneas, en las que se divide la pulgada castellana, a través de las cantidades 4 y 5; números correspondientes al tamaño de los dos catetos de un triángulo rectángulo. |
| División en quince partes | la pulgada castellana |
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| 15 partes o fracciones | 12 líneas | |
| 1/15 = 0,02325/15 = 0,00155 metros | 1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros |
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El compás es un
instrumento que sirve para determinar la figura más perfecta de todas; el
círculo.
A su vez, y desde la antigüedad, la primera letra griega alfa mayúscula A, por su diseño triangular, está asociada a la forma de un compás abierto.
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El compás representa, por tanto, varias cuestiones emblemáticas universales:
La herramienta de la creación divina - Dios Arquitecto,
el útil de acotación del límite del espacio,
el símbolo de la Matemática, Geometría y Arquitectura
y, también, a la tercera de las tres Grandes Luces que ilumina toda logia masónica.
El preciso compás de proporción, construido por Marco Antonio Mazzoleni en 1606 siguiendo las instrucciones de Galileo Galilei, permite, sin tener conocimientos matemáticos, dividir una línea en las partes que se desee, reproducir un plano a diferentes escalas o extraer raíces cuadradas y cúbicas [6].
El precursor del compás de Galileo fue el compás de proporción de ocho puntas del matemático italiano Fabrizio Mordente, que, con dos brazos con punteros, permitía la solución de problemas en la medición de la circunferencia, área y ángulos de un círculo.
En 1567 Fabrizio Mordente publicó en Venecia, en una simple hoja impresa, el tratado e ilustraciones de su dispositivo [7].
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Compás de proporción |
Compás de reducción adaptado a Las Meninas |
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Compás de reducción de eje desplazable |
Toda una joya en la época de Velázquez [8].
El compás de eje desplazable consiste en dos piezas calibradas, fijadas a un centro móvil, donde la medición se traduce a escalas entre 1:2 a 1:15.
Este compás de cuatro puntas se utiliza para reproducir dibujos a mayor o menor tamaño; en la práctica de la pintura facilita medir objetos reales o bocetos preparatorios para ser plasmados a su formato definitivo en la superficie del lienzo.
Escribe Vitrubio en el capítulo II del Libro Noveno de Los Diez Libros de Arquitectura [9]:
Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, (...).
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La escuadra perfecta |
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Si se toman tres reglas, una de tres pies, otra de cuatro y una tercera de cinco, y se las junta de modo que reunidos sus extremos de punta a punta formen un triángulo, se tendrá una escuadra perfecta. |
Hablamos, pues, del Triángulo Sagrado egipcio, nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyo lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones.
Estos tres números, 3, 4 y 5, utilizados para obtener un ángulo recto, tienen, a su vez, propiedades aritméticas y geométricas, y de coincidencias con períodos astronómicos, tales como el período de revolución sinódica de un planeta visible a simple vista, o los múltiplos mínimos comunes de varios de esos períodos.
El triángulo rectángulo semejante de lados: 15, 20 y 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto, y fue llamado Isíaco por la diosa Isis.
Será, por tanto, estos números consagrados pitagóricos los que midan el espacio profundo de Las Meninas.
En principio aplicaremos el Teorema de Pitágoras [10], más el cálculo de las medidas de los lados de los triángulos semejantes de Euclides [11], para averiguar la razón geométrica entre el tamaño real de la Habitación del Príncipe y el de la distante pared representada en Las Meninas.
Sea 60 el tamaño de la anchura de la Habitación del Príncipe, y 18 el valor de la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo.
La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se evalúa cuántas veces contiene una a la otra.
Con estas medidas reseñadas obtendríamos la siguiente razón geométrica en un compás abierto de cuatro puntas:
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La razón geométrica 3,333333333... adaptada a un compás de eje desplazable operaría del siguiente modo en el sistema de medidas castellano:
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LA GEOMETRÍA DE LA PROPORCIÓN
La pulgada en la rejilla de trabajo y su equivalencia sobre la pared del fondo.
PLANTEAMIENTO
DEMOSTRACIÓN
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 Apertura en un rectángulo |
Hablamos, pues, de la Geometría de los egipcios, de Pitágoras, de Tales de Mileto, de Euclides ... y de Diego Velázquez.
La Vara Real de Burgos, en la época de la construcción del Monasterio del Escorial, estandarizó el sistema de medidas en la península Ibérica; y así lo confirma la pragmática dictada por el monarca Felipe II el 24 de junio de 1568.
Y en base a estas medidas escurialenses, que emplea el mismo Diego Velázquez en sus cálculos, el planteamiento geométrico de 1 Pie Real en Las Meninas resulta ser la inspiración pitagórica más bella heredada del abuelo de Felipe IV, Felipe II.
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45 unidades ÷ 1.125 unidades por pulgada = 40 pulgadas.
40 pulgadas ÷ 12 pulgadas = 3,333333333...
| Valor de la Unidad | Pulgadas Castellanas | 1 Pie Real | Escala de representación | Tamaño real | ||
| 1,125 | x | 12 | = | 13,5 unidades | 0,266666666 | 3,75 x 12 pulgadas = 45 pulgadas |
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En Las Meninas el ancho del Espejo, que equivale a 1 Pie Real, es decir; 12 pulgadas, está en relación directa con su ancho real de 45 pulgadas, a través de una rejilla de 6 x 4 cuadrados; números directamente relacionados con el tamaño de los dos catetos del triángulo pitagórico o escuadra perfecta.
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| Unidades en la pared del fondo | Pulgadas Castellanas | Escala de representación | Tamaño real |
| 13,5 unidades | 12 | 0,266666666 | 3,75 x 12 pulgadas = 45 pulgadas |
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La relación entre el tamaño del Espejo pintado y su tamaño real: 12/45 = 0,266666666...
Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666666..
El indicio de la existencia de una constante matemática da pie para determinar, ahora sí, el cálculo exacto del tamaño de la Habitación del Príncipe.
La distancia entre la vista y lo que se ve ha de ser
proporcionada; ya que el tamaño de cualquier objeto o figura, aunque se localice
muy distante, debe armonizar con la lejanía plasmada en el lienzo.
Y como indicó Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez:
Así la distancia ha de corresponder a la vista con cierta razón y proporción de ángulos.
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El ancho del lienzo de Las Meninas mide la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y la escala de la distante pared pintada equivale a 1/3,75 de esta misma sala [12].
La anchura inicial de Las Meninas es de 120 pulgadas, que corresponde a 2,79 metros.
Luego la anchura de esta sala será de 2,79 metros x 2 = 5,58 metros = 20 pies = 240 pulgadas.
La dimensión transversal de la distante pared pintada es de 1,488 metros = 64 pulgadas.
La relación entre el tamaño de como se pinta la pared del fondo y su tamaño real: 1,488/5,58 = 0,266666666...
Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666666..
| Zona izquierda 132 pulgadas | Zona central 64 pulgadas | Zona derecha 44 pulgadas | ||
| 44 | 44 | 44 | 64 | 44 |
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Total - 240 pulgadas |
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Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe
La cuestión del tamaño de
la pared del fondo está relacionada directamente con
la perspectiva:
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Y, a su vez, la altura real de esta sala de palacio depende de la siguiente relación numérica:
44 pulgadas x 4 x 1,125 = 198 pulgadas.
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Desglose de la altura de la Habitación del Príncipe |
| unidades | pulgadas | metros | medidas castellanas | |
| Altura | 222,75 | 198 | 4,6035 | 198 / 36 = 5 varas y media |
| Anchura | 270 | 240 | 5,58 | 240 / 12 = 20 pies |
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Más allá de lo ya analizado, pondremos a prueba un Caso especial de medición en la distancia, y su relación matemática con la rejilla de trabajo.
Ya hemos observado que el ancho del lienzo de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y que la anchura real de esta misma sala está representada, proporcionalmente, en la pared del fondo de esta pintura.
Esta relación se descubre del siguiente modo; 120 pulgadas corresponden al tamaño original de la anchura de Las Meninas, y 64 pulgadas es lo que mide la anchura de la pared del fondo pintada en este lienzo:
64/120 = 8/15 = 0,533333333...
| Unidades por pulgada | División de la pulgada en 15 partes | Escala de representación | Milímetros | Coeficiente de ampliación |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 3,333333333 x 1,125 = 3,75 |
| 0,6 | 8/15 | 0,533333333 | 12,4 | 3,333333333 x 0,6 = 2 |
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La Escala de representación de 0,533333333... prueba que la anchura del lienzo de Las Meninas corresponde a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe.
0,6 unidades por pulgada x 240 pulgadas = 144 unidades.
144 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 128 pulgadas.
Y 128 pulgadas = 64 pulgadas x 2; es decir el doble de la anchura en pulgadas de la pared pintada del fondo.
| Unidades en la pared del fondo | División de la pulgada | Escala de representación | Tamaño real |
| 0,3 unidades | 4/15 | 0,266666666 | 3,333333333... pulgadas por unidad x 0,3 unidades = 1 pulgada |
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Y al mismo tiempo, el coeficiente de ampliación de 3,75 confirma que el Tamaño real de esta sala de 240 pulgadas de anchura está en relación directa con la distancia sugerida en la pared pintada del fondo de Las Meninas:
Tamaño real:
64 pulgadas x 3,75 = 240 pulgadas
En cualquier caso, desde la antigüedad la relación entre el tamaño aparente y la distancia percibida de un objeto determinado del campo visual quedó formulada en la denominada Ley de Euclides, que dice así:
La distancia entre el objeto y el observador es inversamente proporcional al tamaño de dicho objeto.
El tamaño de un objeto disminuye en función a la distancia de forma inversamente proporcional, es decir; a doble de distancia a este mismo objeto le corresponde la mitad de su tamaño.
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60 / 18 = 240 / 72 = 198 / 59,4 = 10 / 3 = 3,333333... pulgadas por unidad.
Esta proporción incluye la escuadra perfecta de Pitágoras.
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Y cierto es que el Pie Real mide 0,279 metros,
y que la anchura de Las Meninas medía 2,79 metros, es decir,
diez veces el Pie Real; que completarían, entonces, la anchura de
este lienzo con 10 pies, que también equivalen a 120 pulgadas.
Una reciprocidad consistente en la que sólo intervienen números enteros.
En pintura, la mirada del pintor se propaga en las distancias, estudia las diferentes calidades de luz, en las penumbras y sombras, en las luces claras y oscuras, en las frías y calientes; de tal manera, que la superficie del lienzo funciona como un plano transparente, vertical al suelo, en la intersección con su modelo.
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Escala 1:2
Calibración de la anchura y altura del lienzo de Las Meninas.
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Pulgadas |
Metros |
Coeficiente |
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60 |
60 X 0,02325 = 1,395 |
7º y 1/2 |
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120 |
15 X 8 X 0,02325 = 2,79 |
15º |
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138 |
138 X 0,02325 = 3,2085 |
17º y 1/4 |
| 140 | 140 X 0,02325 = 3,255 | 17º y 1/2 |
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153 |
153 X 0,02325 = 3,55725 |
19º y 5/40 |
Al rey de Egipto Meris se le atribuye la invención de la
Geometría, y desde entonces vino la facultad del medir, que, poco a poco, creció
en nuevas invenciones hasta los tiempos de Pitágoras, natural de la isla de
Samos.
Cuentan que Pitágoras ideó las delineaciones, las formas, los intervalos, las distancias y las cantidades; entre las cuales halló la virtud de la potencia del triángulo rectángulo, con tanto contentamiento y satisfacción de haberle hallado, que se dice que en pago de la merced recibida ofreció a la diosa Minerva el sacrificio Hecatombe en el cual sacrificó cien vacas.
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En la Edad Media la demostración de esta proposición otorgaba el preciado grado de Magister Matheseos, maestro de Matemáticas, queriéndose dar a entender de que el Teorema de Pitágoras es la base de toda sólida formación Matemática y de la Geometría.
Ha tomado 350 años descubrir una fórmula explicita que explique gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y posibilite reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición.
El conocimiento del sistema de medidas de la época de Velázquez facilita acceder a las habituales normas ópticas y geométricas de la profundidad espacial, pero también proporciona, a ciencia cierta, el modelo e idea original del trazado de la Geometría de esta pintura, lo cual constituye, además, la recuperación del plano inicial de Las Meninas.
Esta comprometida empresa está basada en dos ideas complementarias que garantizan la legítima génesis geométrica de Las Meninas:
Una la del Teorema de Tales de Mileto [13], que afirma que cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,
y la otra compartida por dos ilustres geómetras; el Teorema de Pitágoras y la Proposición 47 de Euclides [14].
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al describe el eje vertical del punto de fuga:
cb + ad = al = 2 + √3/2. |
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La Habitación del Príncipe mide 240 pulgadas de ancho, y el eje vertical al mide físicamente; 240 pulgadas + 60√3 pulgadas.
60√3 equivale geométricamente a; ab2 - bd2 = ad2.
Ahora sustituiremos estas letras por cifras; si ab = 120 y bd = 60; luego ad = √ (1202 - 602) = √10800 = 60√3.
Como hemos confirmado, el ancho del área geométrica de Las Meninas equivale a 240 pulgadas.
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Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las
Meninas
| Lado del Triángulo | Cateto menor | Cateto mayor | Hipotenusa |
| Medidas en pulgadas | 80 X 3 = 240 | 80 X 4 = 320 | 80 X 5 = 400 |
| Divisiones | 60 x 4 partes | 64 x 5 partes | 100 x 4 partes |
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| Formato | Unidades | La anchura | Pulgadas por unidad | Anchura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| 8 | 9/8 = 1,125 unidades | 72 unidades | X | 0,888.888 | = | 64 pulgadas | 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros |
Formato en la Anchura y Horizonte de Las Meninas
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DEMOSTRACIÓN
Luego la escala de representación de la pared del fondo será:
0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75. |
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Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.
Luca Pacioli manifiesta en su tratado DE
DIVINA PROPORTIONE que el saber tuvo su origen en el sentido de la vista; y de
ahí que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta.
En el Renacimiento, y de acorde con la idea de que el hombre es la medida de todas las cosas, se aplicó la proporcionalidad del cuerpo humano a todo tipo de arte:
Un sistema antropométrico de medición consolidado en dedos, codos, palmos o pies.
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En la Villa Barbaro, proyectada por Palladio, encontramos un ejemplo bien ilustrado de un cazador asomado a una puerta simulada, y autorretrato del pintor Paolo Veronés, fundido en el conjunto de la obra arquitectónica, a semejanza de la idea de Leonardo da Vinci, como también lo fue para Alberto Durero, en la que toda práctica pictórica debía sustentarse en la ciencia de la Matemática y Geometría.
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En nuestro ejemplo, José Nieto, el Aposentador de la reina, será quien salvaguarde la proporción y el tamaño real de cada objeto en la distancia.
La anchura de la Puerta mide 18,9 unidades
Factorización de 3 x 3 x 3 x 7 = 189.
Los divisores del número 189 son 8:
1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.
La altura de la Puerta mide 30 unidades
Factorización de 2 x 3 x 5 = 30.
Los divisores del número 30 son 8:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
| LA ALTURA | LA ANCHURA | |||||||||
| Metros | Pulgadas | Unidades | Cuadrícula |
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Cuadrícula | Unidades | Pulgadas | Metros | ||
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 30 x 1 | 18,9 x 1 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 15 x 2 | 6,3 x 3 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 10 x 3 | 2,7 x 7 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 6 x 5 | 2,1 x 9 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 5 x 6 | 0,9 x 21 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 3 x 10 | 0,7 x 27 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 2 x 15 | 0,3 x 63 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
| 0,62 | 26 y 10/15 | 30 | = | 1 x 30 | 0,1 x 189 | = | 18,9 | 16 y 12/15 | 0.3906 | |
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Señalaremos la idea más compleja; la puramente geométrica de esta Puerta de madera.
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División de la altura de 30 unidades equivalente a 26 pulgadas y 10/15.
Estudio del tamaño real de la pared del fondo y su relación matemática con la rejilla de trabajo.
30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes. |
| Unidades | Fracción de la pulgada | Pulgadas | Milímetros en la rejilla de trabajo | Tamaño real en la distancia |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 1,125 unidades x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3 pulgadas y 9/12 |
| 0,075 | 1/15 | 0,066666666 | 1,55 | 0,075 unidades x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3/12 de pulgada |
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Matemáticamente, pues, hemos acotado diecinueve alturas niveladas por el Horizonte de Las Meninas, y así rehacer el trazado de la Puerta de madera semiabierta de 22 cuarterones en el vano de la anchura de las dos jambas.
La escala, ya sea de ampliación o disminución, es la relación entre el tamaño real de un objeto y su tamaño final en el dibujo.
Así, en este caso, una escala de 1/3,75 significa que en la distancia una pulgada en la pared del fondo de Las Meninas, y cuyo valor en la rejilla de trabajo es de 1,125 unidades, representa en el mundo real a 3,75 pulgadas.
| Unidades | Fracción de la pulgada | Pulgadas | Pulgadas reales en la distancia |
| 2,1 | 1 pulgada y 13/15 | 1,866666666 | 7 pulgadas = 7 |
| 2,025 | 1 pulgada y 12/15 | 1,8 | 6 pulgadas 9/12 = 6,75 |
| 1,95 | 1 pulgada y 11/15 | 1,733333333 | 6 pulgadas 6/12 = 6,5 |
| 1,875 | 1 pulgada y 10/15 | 1,666666666 | 6 pulgadas 3/12 = 6,25 |
| 1,8 | 1 pulgada y 9/15 | 1,6 | 6 pulgadas = 6 |
| 1,725 | 1 pulgada y 8/15 | 1,533333333 | 5 pulgadas 9/12 = 5,75 |
| 1,65 | 1 pulgada y 7/15 | 1,466666666 | 5 pulgadas 6/12 = 5,5 |
| 1,575 | 1 pulgada y 6/15 | 1,4 | 5 pulgadas 3/12 = 5,25 |
| 1,5 | 1 pulgada y 5/15 | 1,333333333 | 5 pulgadas = 5 |
| 1,425 | 1 pulgada y 4/15 | 1,266666666 | 4 pulgadas 9/12 = 4,75 |
| 1,35 | 1 pulgada y 3/15 | 1,2 | 4 pulgadas 6/12 = 4,5 |
| 1,275 | 1 pulgada y 2/15 | 1,133333333 | 4 pulgadas 3/12 = 4,25 |
| 1,2 | 1 pulgada y 1/15 | 1,066666666 | 4 pulgadas = 4 |
| 1,125 | 1 pulgada = 15/15 | 1 | 3 pulgadas 9/12 = 3,75 |
| 1,05 | 14/15 de pulgada | 0,933333333 | 3 pulgadas 6/12 = 3,5 |
| 0,975 | 13/15 de pulgada | 0,866666666 | 3 pulgadas 3/12 = 3,25 |
| 0,9 | 12/15 de pulgada | 0,8 | 3 pulgadas = 3 |
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Escala de la pared del fondo: 1/3,75 |
La Geometría es una rama de la
Matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el
plano y en el espacio; incluyendo puntos, rectas, superficies...
La base teórica del dibujo técnico queda establecida por los instrumentos usados para su práctica; como la regla, el compás, la escuadra...
El razonamiento matemático trabaja con operaciones elementales de cálculo numérico, de lo cual se originan series matemáticas.
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La rejilla de trabajo sobre la altura de la jamba de la Puerta del fondo de Las Meninas mide 30 unidades.
Tenemos:
30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes.
La altura de la jamba queda dividida, por tanto, en cinco partes iguales:
400 partes / 5 = 80 partes.
Y al mismo tiempo:
0,075 unidades x 80 partes = 6 unidades por cada 1/5 de la altura de la Puerta del fondo.
La perspectiva lineal, surgida de la observación, negaba los postulados geométricos aceptados en el siglo XV; sin embargo, cuando Velázquez pinta a Las Meninas en el año 1656, ya existía la suficiente Matemática y Geometría que engranase del todo los números analizados, y, no obstante, en la que toda práctica pictórica debe sustentarse.
| Unidades | Fracción de la pulgada | Pulgadas | Milímetros en la rejilla de trabajo | Tamaño real en la distancia |
| 1,125 | 15/15 | 1 | 23,25 | 1,125 unidades x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3 pulgadas y 9/12 |
| 0,075 | 1/15 | 0,066666666 | 1,55 | 0,075 unidades x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3/12 de pulgada |
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Piero della Francesca es el único pintor del Renacimiento que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la Geometría.
A la muerte de Piero della Francesca sus investigaciones inspiró a notables autores de tratados de Geometría; en el libro DE DIVINA PROPORTIONE de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, los estudios de Piero, sobre los sólidos geométricos, están presentes.
En la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, este postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u Horizonte.
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Este análisis geométrico y matemático confirma; que la profundidad escalonada de los cinco planos laterales de la arquitectura de la pared derecha de Las Meninas están convenientemente dispuestos de manera segura.
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Intervalo |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Unidades |
2,75 |
|
3,5 |
|
5 |
|
8 |
|
14 |
|
Pulgadas |
2 pulgadas y 4/9 |
|
3 pulgadas y 1/9 |
|
4 pulgadas y 4/9 |
|
7 pulgadas y 1/9 |
|
12 pulgadas y 4/9 |
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Incremento |
|
+ 0,75 |
|
+ 1,5 |
|
+ 3 |
|
+ 6 |
|
|
Progresión geométrica |
|
0,75 X 20 |
|
0,75 X 21 |
|
0,75 X 22 |
|
0,75 X 23 |
|
|
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La perspectiva lineal que analizamos es un nuevo hallazgo del estudio de la profundidad de Las Meninas.
Algunos autores distinguen entre dos especies de
perspectiva; la geométrica y la artística, pero en realidad hay una sola
perspectiva, que es la exacta.
El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto.
|
Eſta ciencia tiene mas loa que las otras tres, comprehendidas en el numero de Matematicas; porque auiendo grandes contiendas entre las ſestas de caſi todas las diſciplinas, todos los geometras en toda parte concuerdan en vno, ni jamas ſobre la facultad ſe halla entre ellos algun debate, porque aunque diſputan de los puntos, de las lineas, y de las ſuperficies, ſi ſe pueden diuidir o no; en lo demas concuerdan, ni difieren en dotrina o preceptos; antes ſe esfuerçan para exceder el vno al otro, con nueuas y mas ſutiles inuenciones. |
Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615 [15].
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| Zona izquierda 132 pulgadas | Zona central 64 pulgadas | Zona derecha 44 pulgadas | Incremento de 100 pulgadas | Total en pulgadas | Total en metros | ||
| 44 | 44 | 44 | 64 | 44 | 100 | 340 | 7,905 |
Anchura de la sala donde se pintan Las Meninas más el incremento de 100 pulgadas hasta el punto de fuga de la Puerta de madera.
La altura y anchura real de la Puerta
Ya hemos analizado los nueve
niveles de cuarterones que fugan hacia a nuestra derecha; y también observado
que las formantes diagonales de estos cuarterones no se agrupan en un único punto.
Velázquez hace uso de una perspectiva manipulable al alcance de la anchura de sus hombros.
Sin embargo, sí existe un punto de fuga auxiliar para la Puerta de 22 cuarterones, siendo en verdad la anchura entre las jambas, de 16 pulgadas y 12/15, el patrón de medida hasta este infinito lejano.
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| sistema castellano |
valor
en unidades |
cantidad |
total en unidades |
operación |
total en metros |
| vara |
40,5 |
4 |
162 |
4 X 0,837 |
3,348 |
| pie |
13,5 |
1 |
13,5 |
1 X 0,279 |
0,279 |
| pulgada |
1,125 |
4 |
4,5 |
4 X
0,02325 |
0,093 |
|
|
|
180
unidades |
|
3,72
metros |
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La distancia entre el punto de fuga principal del lienzo, coordenada del punto X; [18, -12], que se localiza debajo del brazo levantado en diagonal del Aposentador José Nieto, y el punto de fuga auxiliar K del cual tratamos de la Puerta de cuarterones, coordenada; [198, -12], es de 180 unidades.
180 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 160 pulgadas.
En el sistema métrico tendríamos:
160 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 3,72 metros.
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| LADO | Unidades | Altura sobre la rejilla de trabajo | Tamaño real en la pared del fondo | Valor de la Altura proporcionada |
| Izquierdo | 27,75 | 24 pulgadas y 10/15 | 27,75 unidades X 3,333333333 = 92 pulgadas y 6/12 | 10 |
| Derecho | 24,975 | 22 pulgadas y 3/15 | 24,975 unidades X 3,333333333 = 83 pulgadas y 3/12 | 9 |
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Como observamos en la ilustración, el espacio de trabajo mide:
18,9 unidades el ancho de las jambas, es decir; 16 pulgadas y 12/15,
y la altura del cerco 30 unidades, es decir; 26 pulgadas y 10/15.
No quisiéramos remarcar, específicamente, ninguna línea en particular, pero sí comentar que no es necesario un instrumento muy sofisticado para su elaboración; cualquier regla de madera graduada adecuadamente valdría para su construcción.
El ancho de las jambas es el módulo regulador de la distancia hasta este infinito lejano, y es usado como patrón de medida 10 veces.
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El punto P y el punto j son dos acotaciones obligadas, y dan paso a la lectura de todas las alturas o ordenadas de los 22 cuarterones de la Puerta de madera en su disminución, o perspectiva.
P : [ X = 9 ; Y = 0 ]
j : [ X = 27,9 ; Y = 0 ]
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Como hemos comentado 18,9 unidades es el ancho total de las jambas del cerco de la Puerta tal cual fue pintada, aunque si queremos traducir esta cantidad al sistema antiguo castellano sobre la rejilla de medición sólo habrá que dividir 18,9 unidades entre 1,125 unidades por pulgada.
Es decir; el resultado son 16,8 pulgadas = 16 pulgadas y 12/15.
Cantidad que equivale en el sistema métrico a:
16,8 pulgadas X 0,02325 metros por pulgada = 0,3906 metros.
El ancho real en la distancia de las jambas de la Puerta sería:
18,9 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 62,999999999 pulgadas.
63 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 1,46475 metros.
Y la altura real en la distancia del cerco de la Puerta sería:
30 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 99,999999999 pulgadas.
100 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 2,325 metros.
Y de igual modo nos aproximaremos a la estatura del Aposentador:
20,25 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 67 pulgadas y 6/12 = 1,569375 metros.
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| Proporción | Unidades | Pulgadas Castellanas | Tamaño en metros | Medidas castellanas |
| 7 cabezas y media | 20,25 | 20,25 / 1,125 = 18 | 18 X 0,02325 = 0,4185 | 36 / 2 = 18 = media vara |
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Luego serán las medidas Castellanas las que relacionen a la Pintura, Geometría y Aritmética en Las Meninas.
| pies |
pulgadas |
unidades |
metros |
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| Vara |
3 |
36 |
40,5 |
0,837 |
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Y comprobaremos que la media Vara Castellana de altura del Aposentador José Nieto, que equivale a 18 pulgadas, es también múltiplo de las 198 pulgadas de la altura real de la pared del fondo.
| unidades | pulgadas | metros | medidas castellanas | |
| Altura | 222,75 | 198 | 4,6035 | 198 / 36 = 5 varas y media |
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198 / 18 = 11, es decir; José Nieto se pinta, exactamente, 11 veces más pequeño que la altura real de esta pared.
En el fondo y en la forma hemos planteado una necesidad de la belleza; la Proporción, y una Aritmética, ciencia hermana de la racionalidad, como vehículo del conocimiento de lo real.
En ese caso, la exhaustiva explicación del engranaje de la Geometría de Las Meninas equivale a Las Meninas.
notas a pie de página
1 - Página 37 - Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.
2 - A finales del reinado de Felipe II, Juan de Herrera, el arquitecto del Escorial, será el promotor y primer director de la Academia Real Matemática; comenzando su andadura en dependencias de Palacio a partir de Octubre de 1583.
A partir de 1612, la Academia ejercerá su labor didáctica en casa del Marqués de Leganés, hasta que es clausurada en 1630; fechas en las que aún Diego Velázquez tuvo ocasión de estudiar y practicar sus instrumentos antes de viajar por primera vez a Italia.
Don Diego de Messía, Marqués de Leganés, primo carnal del Conde Duque de Olivares, fue tanto el promotor de la conquista por lo exacto, como experto coleccionista de pintura.
Según se deduce del inventario de su Segundo mayorazgo, y de acorde a Mary Crawford Volk, en 1642 había en esta colección, al menos, cinco obras de Velázquez:
El retrato de la Reina de Hungría, hoy en el Museo del Prado,
uno de Calabazas con turbante,
otro de Pablillos,
un autorretrato del propio pintor
y un San Francisco de Paula con dos compañeros.
Paralelamente, en 1581 María de Austria, hija de Carlos V, al morir su esposo, el emperador Maximiliano, se retiraba a Madrid; y generosa benefactora de los jesuitas en Alemania, lo continuó siendo en la capital de España.
A la muerte de María el pequeño colegio, que la Compañía de Jesús había fundado en 1572, se le denominará Colegio Imperial.
En 1624, tras el fallecimiento de Juan Bautista Labaña, el último que quedaba de la fundación de la academia de Madrid, y que había sido profesor de matemáticas de un entonces joven príncipe Felipe, por real decreto, en el Colegio se crearán veintitrés cátedras en Enero de1625.
Las materias que impartiría el Colegio incluirían las lenguas clásicas, la historia, la filosofía natural, las matemáticas, las artes militares, políticas y económicas; para, así mismo, interpretar las de Aristóteles, ajustando la razón de estado con la conciencia, religión y fe católica.
El rey se constituía como fundador y patrón de los Estudios Reales, función que había de pasar a sus sucesores.
A la postre, el Colegio Imperial, en Febrero de 1629, se haría cargo de la enseñanza de las Matemáticas en la Corte.
3 - En esta época, la aplicación de las Matemáticas toma vertientes muy diversas;
al cálculo mercantil,
a la fundamentación de la cosmografía,
a la astrología,
al arte de navegar,
al arte militar
y a la técnica de la construcción.
Sin embargo, era heroico el de algunos practicarla a principios del siglo XVII en el Reino de las Españas, ya que, tal y como afirma el valenciano Miguel Geronimo de Santa Cruz; quien contar no supiese no se le tenía como hombre.
Página 54. LIBRO DE ARITHMETICA ESPECULATIVA Y PRACTICA. EL DORADO CONTADOR de Miguel Geronimo de Santa Cruz. Impreso en Sevilla. 1601.
4 - Uno de los libros más antiguos que hemos estudiado sobre; Aritmética, Álgebra, Trigonometría y otros cálculos, es del año 1688, editado por el Colegio de la Compañía de Jesús de la ciudad de Cádiz.
En este libro se pone a prueba, didácticamente, la eficacia de los números; en los quebrados, en las proporciones..., y su aplicación práctica final trasladada a la Arquitectura Militar.
THESES MATHEMATICAS - Defendidas por: El Exmo. Señor Don Iñigo de la Cruz Manrique de Lara Remirez de Arellano Mendoza y Alvarado, Conde de Aguilar, Señor de los Cameros, Marqués de la Hinojoſa, Conde de Uillamor, Señor del Eſtado de Andaluz, y Mayalde, y de la Caſa de Carrillo en el Reyno de Nauarra, &c. - Cadiz - Año 1688 - XXII de Junio.
5 - La opinión del maestro de Velázquez nos merece el mejor ejemplo, y advierte:
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El modo de ver ſe haze mediante la luz, en forma de Piramide, formada de los rayos viſuales que proceden de la viſta, donde es la punta de la piramide, i por eſtos rayos los ſimulacros e imagines de las coſas viſibles ſe imprimen en la potencia viſiva. La coſa viſta cuya imagen ſe repreſenta, viene a ſer la baſa deſta piramide, i aſsi forçoſſamente a de ſer de cantidad ſenſible, reſpeto de la ſuperficie del ver. La diſtancia entre la viſta, i lo que ſe vè a de ſer proporcionada, i conveniente, porque ſiendo mui remota, o mui propincua, las coſas viſibles no pueden ſer comprehendidas de la viſta, ni repreſentadas en la pintura. I aſsi la diſtancia a de correſponder a la viſta, con cierta razon i proporción de Angulos; porque la grandeza de las coſas que vemos tanto parece mayor, o menor, cuanto de mayor, o menor angulo viene a ſer comprehendida de la viſta. I eſta grandeza de los angulos viſuales se altera mudandose la diſtancia, i ſe viene a variar el aſpecto. I por eſta cauſa ſe a de tener entera noticia de la figura i cantidad que tienen los cuerpos en ſu propia forma, para ſaber los que diminuyen, i ſe acortan a la viſta, por la diſtancia, i variedad de los angulos. |
Página 284 - Libro Segundo. Arte de la Pintura su antigüedad y grandezas. Francisco Pacheco. Sevilla. 1649.
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El efecto visual de las distintas proporciones de la pared del fondo de Las Meninas parte de un punto, es decir; del punto de fuga, pero su trazado está basado en el Primer Teorema de Thales de Mileto. Thales vivió hacia el año 600 a. de C. y es el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia, y al que habría que considerar como el abuelo de la Geometría.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.
Primer teorema:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. |
Primera Tabla
Formatos en base al tamaño de la anchura de 72 unidades de la pared del fondo.
| Formato | Unidades | La anchura | Pulgadas por unidad | Anchura en pulgadas | Tamaño en metros | ||
| La anchura de la Habitación del Príncipe mide 5,58 metros. | |||||||
| 30 | 9/30 = 0,3 | 72 unidades | X | 3,333.333 | = | 240 pulgadas | 30 X 8 X 0,02325 = 5,58 metros |
| 29 | 9/29 | 72 | X | 3,222.222 | = | 232 | 29 X 8 X 0,02325 = 5,394 |
| 28 | 9/28 | 72 | X | 3,111.111 | = | 224 | 28 X 8 X 0,02325 = 5,208 |
| 27 | 9/27 = 0,333.333 | 72 | X | 2,999.999 | = | 216 | 27 X 8 X 0,02325 = 5,022 |
| 26 | 9/26 | 72 | X | 2,888.888 | = | 208 | 26 X 8 X 0,02325 = 4,836 |
| 25 | 9/25 = 0,36 | 72 | X | 2,777.777 | = | 200 | 25 X 8 X 0,02325 = 4,65 |
| 24 | 9/24 = 0,375 | 72 | X | 2,666.666 | = | 192 | 24 X 8 X 0,02325 = 4,464 |
| 23 | 9/23 | 72 | X | 2,555.555 | = | 184 | 23 X 8 X 0,02325 = 4,278 |
| 22 | 9/22 | 72 | X | 2,444.444 | = | 176 | 22 X 8 X 0,02325 = 4,092 |
| 21 | 9/21 | 72 | X | 2,333.333 | = | 168 | 21 X 8 X 0,02325 = 3,906 |
| 20 | 9/20 = 0,45 | 72 | X | 2,222.222 | = | 160 | 20 X 8 X 0,02325 = 3,72 |
| 19 | 9/19 | 72 | X | 2,111.111 | = | 152 | 19 X 8 X 0,02325 = 3,534 |
| 18 | 9/18 = 0,5 | 72 | X | 1,999.999 | = | 144 | 18 X 8 X 0,02325 = 3,348 |
| 17 | 9/17 | 72 | X | 1,888.888 | = | 136 | 17 X 8 X 0,02325 = 3,162 |
| 16 | 9/16 = 0,5625 | 72 | X | 1,777.777 | = | 128 | 16 X 8 X 0,02325 = 2,976 |
| 15 | 9/15 = 0,6 | 72 | X | 1,666.666 | = | 120 | 15 X 8 X 0,02325 = 2,79 |
| 14 | 9/14 | 72 | X | 1,555.555 | = | 112 | 14 X 8 X 0,02325 = 2,604 |
| 13 | 9/13 | 72 | X | 1,444.444 | = | 104 | 13 X 8 X 0,02325 = 2,418 |
| 12 | 9/12 = 0,75 | 72 | X | 1,333.333 | = | 96 | 12 X 8 X 0,02325 = 2,232 |
| 11 | 9/11 | 72 | X | 1,222.222 | = | 88 | 11 X 8 X 0,02325 = 2,046 |
| 10 | 9/10 = 0,9 | 72 | X | 1,111.111 | = | 80 | 10 X 8 X 0,02325 = 1,86 |
| 9 | 9/9 = 1 | 72 | X | 0,999.999 | = | 72 | 9 X 8 X 0,02325 = 1,674 |
| 8 | 9/8 = 1,125 unidades | 72 unidades | X | 0,888.888 | = | 64 pulgadas | 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros |
| La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros. | |||||||
| 7 | 9/7 | 72 | X | 0,777.777 | = | 56 | 7 X 8 X 0,02325 = 1,302 |
| 6 | 9/6 = 1,5 | 72 | X | 0,666.666 | = | 48 | 6 X 8 X 0,02325 = 1,116 |
| 5 | 9/5 = 1,8 | 72 | X | 0,555.555 | = | 40 | 5 X 8 X 0,02325 = 0,93 |
| 4 | 9/4 = 2,25 | 72 | X | 0,444.444 | = | 32 | 4 X 8 X 0,02325 = 0,744 |
| 3 | 9/3 = 3 | 72 | X | 0,333.333 | = | 24 | 3 X 8 X 0,02325 = 0,558 |
| 2 | 9/2 = 4,5 | 72 | X | 0,222.222 | = | 16 | 2 X 8 X 0,02325 = 0,372 |
| 1 | 9/1 = 9 | 72 | X | 0,111.111 | = | 8 | 1 X 8 X 0,02325 = 0,186 |
| 0 | 9/0 = 0 | 72 | X | 0,000.000 | = | 0 | 0 X 8 X 0,02325 = 0 |
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Segunda Tabla
Formatos en base al tamaño de la altura de 59,4 unidades de la pared del fondo.
| Formato | Unidades | La altura | Pulgadas por unidad | Altura en Pulgadas | Tamaño en metros | ||
| La altura de la Habitación del Príncipe mide 4,6035 metros. | |||||||
| 30 | 9/30 = 0,3 | 59,4 unidades | X | 3,333.333 | = | 198 pulgadas | 30 X 6,6 X 0,02325 = 4,6035 metros |
| 29 | 9/29 | 59,4 | X | 3,222.222 | = | 191,4 | 29 X 6,6 X 0,02325 = 4,45005 |
| 28 | 9/28 | 59,4 | X | 3,111.111 | = | 184,8 | 28 X 6,6 X 0,02325 = 4,2966 |
| 27 | 9/27 = 0,333.333 | 59,4 | X | 2,999.999 | = | 178,2 | 27 X 6,6 X 0,02325 = 4,14315 |
| 26 | 9/26 | 59,4 | X | 2,888.888 | = | 171,6 | 26 X 6,6 X 0,02325 = 3,9897 |
| 25 | 9/25 = 0,36 | 59,4 | X | 2,777.777 | = | 165 | 25 X 6,6 X 0,02325 = 3,83625 |
| 24 | 9/24 = 0,375 | 59,4 | X | 2,666.666 | = | 158,4 | 24 X 6,6 X 0,02325 = 3,6828 |
| 23 | 9/23 | 59,4 | X | 2,555.555 | = | 151,8 | 23 X 6,6 X 0,02325 = 3,52935 |
| 22 | 9/22 | 59,4 | X | 2,444.444 | = | 145,2 | 22 X 6,6 X 0,02325 = 3,3759 |
| 21 | 9/21 | 59,4 | X | 2,333.333 | = | 138,6 | 21 X 6,6 X 0,02325 = 3,22245 |
| 20 | 9/20 = 0,45 | 59,4 | X | 2,222.222 | = | 132 | 20 X 6,6 X 0,02325 = 3,069 |
| 19 | 9/19 | 59,4 | X | 2,111.111 | = | 125,4 | 19 X 6,6 X 0,02325 = 2,91555 |
| 18 | 9/18 = 0,5 | 59,4 | X | 1,999.999 | = | 118,8 | 18 X 6,6 X 0,02325 = 2,7621 |
| 17 | 9/17 | 59,4 | X | 1,888.888 | = | 112,2 | 17 X 6,6 X 0,02325 = 2,60865 |
| 16 | 9/16 = 0,5625 | 59,4 | X | 1,777.777 | = | 105,6 | 16 X 6,6 X 0,02325 = 2,4552 |
| 15 | 9/15 = 0,6 | 59,4 | X | 1,666.666 | = | 99 | 15 X 6,6 X 0,02325 = 2,30175 |
| 14 | 9/14 | 59,4 | X | 1,555.555 | = | 92,4 | 14 X 6,6 X 0,02325 = 2,1483 |
| 13 | 9/13 | 59,4 | X | 1,444.444 | = | 85,8 | 13 X 6,6 X 0,02325 = 1,99485 |
| 12 | 9/12 = 0,75 | 59,4 | X | 1,333.333 | = | 79,2 | 12 X 6,6 X 0,02325 = 1,8414 |
| 11 | 9/11 | 59,4 | X | 1,222.222 | = | 72,6 | 11 X 6,6 X 0,02325 = 1,69795 |
| 10 | 9/10 = 0,9 | 59,4 | X | 1,111.111 | = | 66 | 10 X 6,6 X 0,02325 = 1,5345 |
| 9 | 9/9 = 1 | 59,4 | X | 0,999.999 | = | 59,4 | 9 X 6,6 X 0,02325 = 1,38105 |
| 8 | 9/8 = 1,125 unidades | 59,4 unidades | X | 0,888.888 | = | 52,8 pulgadas | 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros |
| La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros. | |||||||
| 7 | 9/7 | 59,4 | X | 0,777.777 | = | 46,2 | 7 X 6,6 X 0,02325 = 1,07415 |
| 6 | 9/6 = 1,5 | 59,4 | X | 0,666.666 | = | 39,6 | 6 X 6,6 X 0,02325 = 0,9207 |
| 5 | 9/5 = 1,8 | 59,4 | X | 0,555.555 | = | 33 | 5 X 6,6 X 0,02325 = 0,76725 |
| 4 | 9/4 = 2,25 | 59,4 | X | 0,444.444 | = | 26,4 | 4 X 6,6 X 0,02325 = 0,6138 |
| 3 | 9/3 = 3 | 59,4 | X | 0,333.333 | = | 19,8 | 3 X 6,6 X 0,02325 = 0,46035 |
| 2 | 9/2 = 4,5 | 59,4 | X | 0,222.222 | = | 13,2 | 2 X 6,6 X 0,02325 = 0,3065 |
| 1 | 9/1 = 9 | 59,4 | X | 0,111.111 | = | 6,6 | 1 X 6,6 X 0,02325 = 0,15345 |
| 0 | 9/0 = 0 | 59,4 | X | 0,000.000 | = | 0 | 0 X 6,6 X 0,02325 = 0 |
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6 - LA OPERAZIONE DEL COMPASSO GEOMETRICO ET MILITARE DI GALILEO GALILEI. PADOVA, M.DC.XL.
7 - IL COMPASSO. Con Altri Istromenti Mathematici. Fabritio Mordente. Anversa. M. D. LXXXIIII.
8 - En el Inventario del 11 de Agosto de 1660 de los bienes de Velázquez se especifica, en el apartado 31- 32, dos compases de bronce.
Página 304 - Velázquez. Homenaje en el centenario de su muerte. Instituto Diego Velázquez. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid, 1960.
9 - Página 349 - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradotti & commentati da Monſ. Daniel Barbaro eletto Patriarca d´Aquileia, da lui riueduti & amplati; & hora in piu commoda forma ridotti. In Venetia, MDLXVII.
Libro IX – Cap. II.
Della ſquadra inuentione di Pitagora per formare l´angulo giusto.
Pitagora ſimilmente dimoſtrò la ſquadra ritrouata ſenza opera di artefice alcuno, & fece chiato con quanto grande fatica i fabri facendola, a pena la poſſono al giuſto ridurre. Queſta coſta con ragioni, & uie emendata, da ſuoi precetti ſi manifeſta: perque ſe egli ſi prenderà tre regole, una di piedi tre, l´altra di quattro, la terza di cinque, & queſte regole compoſte ſiano, che con i capi ſi tocchino inſieme facendo una figura triangulare, condurranno la ſquadra giuſta.
10 - Página 95 - Tratado de Geometria Practica y Speculatiua. Iuan Perez de Moya. Alcala. M. D. LXX. III.
Escribe el español Iuan Perez de Moya:
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De otro modo podras prouar ſi es vna eſquadra perfecta. Abre el compas en vna quantidad conueniente, y contando en el vn lado, ò linea de la eſquadra (començando del punto a.) tres tamaños ſemejantes à la diſtancia de la abertura del compas, como en la linea a. c. de la ſiguiente figura denotan las letras d. e. f.
Luego toma en el otro lado, ò linea a. b. quatro tamaños ſemejantes à eſtos como denota g. h. i. k. Saca agora vna linea recta deſde el punto f. haſta el punto k. y ſi eſta linea tuuiere cinco tamaños ſemejantes a los tres que tomaſte en el lado a. c. ò a los quatro del lado a. b. la tal eſquadra ſera verdadera, y ſi ay menos, o mas tamaños de cinco eſtara falſa, como ſe prueua por la penultima del primero de Euclides. Porque ſi el angulo a. es recto, el quadrado de la linea a. f. y a. k. ha de ſer ygual al quadrado de la linea f. k. que es lado opueſto al dicho angulo recto, pues ſi el lado a. f. tiene tres tamaños, y en el a. k. tiene quatro, la ſumma de los quadrados deſtos numeros 3. y 4. es 25. Luego el otro lado f. k. es neceſſario que tenga cinco tamaños, para que ſu quadrado haga veynte y cinco, que es lo que haze la ſumma de los quadrados de los otros lados que comprehenden el angulo recto. Ha ſe dicho eſto aquí porque como con eſte inſtrumento ſe ha de moſtrar medir diſtancias, es bien ſaberle hazer. |
11 - Libro I - Theorema. 2. - Propoſition. 5.
Los angulos de los triángulos yſoſceles que eſtan ſobre la baſis ſon entreſi yguales. Y eſtendidas las lineas rectas yguales, ſeran tambien yguales entreſi los angulos que eſtan debajo de la baſis.
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Sea el triangulo yſoſceles .ABC. que tenga el lado .AB ygual al lado .AC. y eſtiendanſe derechamente (por la ſecunda peticion) las lineas .BD. .CE a las lineas .AB. .AC. digo que el angulo .ABC. es ygual al ACB. y el angulo .CBD. al angulo .BCE. Tomeſe en la linea .BD. vn punto a caſo y ſea .Z. y corteſe de la linea .AE. mayor (por la tercera propoſicion) vna ygual a la .AZ. menor y ſea .AI. y juntenſe .ZC. y .IB. y porque .AZ. a la .AI. y .AB. a la .AC. ſon yguales, luego las dos .ZA. .AC. ſon yguales a las dos .IA. .AB. la vſna a la otra, y cierran el angulo comun que es contenido debajo de .ZAI. luego la baſis .ZC. es (por la .4. propoſicion) ygual a la baſis .IB. y el triangulo .AZC. ſera ygual al triangulo .AIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran yguales, debajo de los quales ſe eſtienden yguales lados, eſto es el angulo .ACZ. al angulo .ABI. y el angulo AZC. al angulo AIB. y porque toda la .AZ es ygual a toda la .AI de las quales la linea .AB. es ygual a la linea .AC luego la que reſta .BZ. es ygual (por la .3. comun ſentencia) a la .CI. que reſta. Y eſta demoſtrado que .ZC es ygual a la misma .BI. luego las dos .BZ. ZC. ſon yguales a las dos .CI .IB. la vna a la otra, y el angulo .BZC. es ygual al angulo .CIB. (por la .4. propoſicion) y la .BC. es baſis comun, luego el triangulo .BZC ſera ygual al triangulo .CIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran tambien yguales debaxo de los quales ſe eſtienden yguales lados (por la misma) luego el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y el angulo .BCZ. al angulo .CBI. ſon yguales. Pues porque todo el angulo .ABI. como eſta demoſtrado es ygual a todo el angulo .ACZ. de los quales .CBI. es ygual al angulo .BCZ luego el angulo .ABC. que reſta es ygual (por la .3. comun ſentencia) al angulo reſtante .ACB. y ſon ſobre la baſis del triangulo .ABC. pero eſta demoſtrado, que el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y eſta debaxo de la baſis. Luego de los triangulos yſoſceles los angulos que eſtan ſobre la baſis ſon yguales entre ſi, y eſtentidas las lineas rectas yguales ſeran tambien yguales entre ſi los angulos que eſtan debaxo de la baſis lo qual ſe auia de demoſtrar. |
| Demostración |
LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.
12 - La escala es la relación proporcional entre la dimensión real de un objeto y las de este mismo objeto representado sobre un plano.
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Siempre que el Arquiteto quiere hazer vna traça, lo primero que haze antes que la comience, es hazer el pitipie: y porque aura muchos, que no ſepan que cosa es pitipie, pongo aqui ſu declaracion. El pitipie es nombre Frances, que peti en Frances quiere dezir pequeño, ò chico, y aſsi es lo meſmo dezir en nuestra lengua Caſtellana pequeño pie, como en Frances pitipie, y por eſto ſe entendera, que eſte pequeño pie es ſemejança del pie grande, aduirtiendo que tres pies de los grandes, ſon una vara Caſtellana, y quando ſe mide las fabricas ſe entiende yr medidas debaxo de que tres pies hazen la dicha vara, y con eſta proporcion ſe hace el pitipie, el qual ſirve para hazer las traças y modelos, y va hecho con proporcion del tamaño que ha de tener la fabrica grande, porque aunque ſea la traça no mayor que vn real de à ocho, como vaya repartida con ſu pitipie, ſe entendera por ella la grandeza que ha de tener, pueſta en execucion: porque ſe conſideran aquellas pequeñas medidas reſpeto de las grandes hechas con el gran pie, y aſsi meſmo à este pitipie le llaman muchos eſcala. |
Página 36 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598.
13 - Se atribuyen a Tales de Mileto varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides:
La definición: I. 17.
Y las proposiciones: I. 5 - I. 15 - I. 26 - III. 31.
Libro III - Theorema. 27. - Propoſition. 31.
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En el circulo, el angulo que eſta en el medio circulo es recto, y el que eſta en el ſegmento mayor, es menor que recto, y el que en el menor ſegmento, es mayor que recto. Y de mas de eſto el angulo del mayor ſegmento es mayor que recto; y el angulo del menor ſegmento es menor que recto. |
LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.
14 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.
En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.
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Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD. porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar. |
| Demostración |
LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.
15 - Página 86 - DISCVRSO XCIIII. DE LOS ARQUITECTOS EN vniverſal, Fortificadores de Fuerças, y maeſtros de maquinas, o Ingenieros. Plaza Vniuersal de todas Ciencias y Artes - Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615.
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La Reina Mariana
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Aplicación del Pie Real
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El Árbol de la Vida
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El Escudo de Armas
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La Escalera
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La Perspectiva
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La Pared del fondo
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El Espejo
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La Herencia
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La Sagrada Simbología
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La Astrología
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Buena medición
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La Paleta del pintor
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Los Planos
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La Divina Proporción
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El color del Aire
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La Puerta
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Acotación
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La Paz de los Pirineos
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La Perspectiva de la Puerta
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La Infanta Margarita
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El Teorema de Pitágoras
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Coordenadas
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El Corazón
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La Espiral
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El Centro
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El Bastidor
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