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La Puerta de la Academia

        Sabíamos que sería difícil lograr que nuestras expectativas se volvieran ciertas; las herramientas adecuadas, y el tiempo de estudio necesario, han sido la clave del perfeccionamiento de un método aritmético y geométrico exacto.

Si tomamos a Las Meninas como modelo de gran inventiva, se deduce de su autor el fruto del provecho de sus saberes, y que, al igual que Fidias en la escultura, hizo del guarismo la armonía de su estilo naturalista.

El número, como principio omnipresente en el Universo, ordena el arte de Las Meninas.

A finales del siglo XV, Luca Pacioli en su libro DE DIVINA PROPORTIONE [1], título que hace referencia a la proporción del número áureo, escribe:

A pesar de que Velázquez confirme en esta obra de arte su interés por todo tipo de efecto lumínico, el objetivo de este análisis es, asimismo, establecer la diferencia entre la imagen pintada del natural, y la de aquella suscitada por la forma de ciertas pinceladas.

En Las Meninas, la Puerta de madera semiabierta abre paso hacia una pared lejana, y a una Geometría donde se encuentra oculta toda otra ciencia, como así señaló Luca Pacioli, y Diego Velázquez expresó a la española.

En esta área de Las Meninas se representa la presencia de uno de los diez Sefirot de la Kabala, la Sefira número siete, situada ante el retrato de la menina Isabel de Velasco y la silueta del Aposentador José Nieto, y que, ordenada por Geometría, custodia la efigie del protagonista más importante de la tradición cabalística.

Conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino consolidado en la cabeza de la menina que analizamos, porque, ya que los antiguos cabalistas situaron en las esferas del Árbol de la Vida los patriarcas bíblicos según su naturaleza, Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó representado al pie de la columna derecha.

Veamos los muchos contenidos simbólicos, que se ocultan tras la menina Isabel de Velasco, en la Sefira nº 7, Nectzah, La Victoria, según argumenta en latín Athanasius Kircher.

Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.

E inesperada reminiscencia cabalística:

רֹאשׁוֹ, כֶּתֶם פָּז; קְוֻצּוֹתָיו, תַּלְתַּלִּים, שְׁחֹרוֹת, כָּעוֹרֵב׃

Su cabeza es un tesoro de oro fino, sus mechones le cuelgan, negros como el cuervo.

Cantar de los Cantares 5:11

Esta visión del profeta Moisés conmueve profundamente en la primera toma de contacto, y nos hace exaltar con ganas al pintor español:

Gracias, Diego Velázquez

El centro de La Sefira nº 7, Nectzah, La Victoria, se sitúa en la coordenada; (24, -12).

No hay nada en estas Esferas que no presuma ser percepción, emoción o un legado sagrado.

	Numeración	Hebreo	Castellano	Planeta	Abscisas - X	Ordenadas - Y
	I	Kether	Corona		0	62
	II	Chokmah	Sabiduría		24	50
	III	Binah	Inteligencia	Saturno	- 24	50
		Dahat	Conocimiento		0	35,4
	IV	Chesed	Merced o Gracia	Júpiter	24	19
	V	Geburah	Fortaleza	Marte	- 24	19
	VI	Tipheret	Hermosura	Sol	0	9,5
	VII	Netzach	Eternidad o Vitoria	Venus	24	- 12
	VIII	Hod	Alabanza o Confisión	Mercurio	- 24	- 12
	IX	Yesod	Fundamento	Luna	0	- 9
	X	Malkut	Reino	Tierra	0	- 38

No obstante, la percepción de estas Esferas oscila entre la certeza de Su inmaterialidad y el de Su vínculo con el mensaje interno de Las Meninas.

Las diez esferas + una enaltecen el acto social pintado por Velázquez, y convocan una entidad subyacente denominada:

La Cara mística de Dios.

     Los diez Sefirot constituyen las distintas etapas del proceso creativo divino, que se simboliza en nuestro mundo físico a través del Árbol de la Vida.

Es por tanto verdad que en Las Meninas están sugeridas cuestiones más que sagradas.

La Geometría del espacio aéreo de Las Meninas se manifiesta simbólico a través de los 10 Sefirot + Dahat, y, de igual suerte, que a finales del Siglo XV, en un retrato anónimo de Luca Pacioli, se representa un poliedro colgado de un cordel en una obra que se exhibe en el Museo de Capodimonte de Nápoles desde el año 1957.

Retrato de Luca Pacioli

Un pintor de la categoría de Velázquez, que anhelaba abrir las puertas de la Escuela de Platón, tuvo la oportunidad de ampliar sus conocimientos en la Academia de Matemáticas de Madrid [2].

En esta época se consideraba a la Aritmética y Geometría el fundamento del Arte liberal de las Matemáticas.

Miguel Geronimo de Santa Cruz rememora su hallazgo de esta manera [3]:

        La Practica de Aritmética, como afirma Juan de Sacrovoſco, (matemático del siglo XV), fue dada compedioſa en luz de vn Filoſofo llamado Algo, y por aqueſta cauſa fue llamado el Guariſmo.

La Aritmética que estudió Velázquez se componía de cinco reglas o guariſmos principales:

Tablas de cálculo geométrico

       En la medición de la superficie de este universo de pintura ha sido necesario recuperar del olvido el antiguo sistema de medidas castellano, aunque para su aplicación habría que considerar ciertas pautas [4]:

• El Pie Real equivale a 12 pulgadas.

• La pulgada castellana se divide en 12 líneas.

• A la pulgada la hemos fraccionado en 9 partes iguales para operar con la unidad en la rejilla de trabajo.

• Asimismo; la medición del tamaño real de la pared del fondo se establece fraccionando a la pulgada castellana en 15 partes iguales en la rejilla de trabajo.

Básicamente, estas cuatro normas dan paso al proceso de medir cualquier esquina de Las Meninas con realidad, profundidad y exactitud  [5].

Todo el mundo debería saber que el Cálculo se ha de fundar en reglas de Geometría para no exponerse a errores en perjuicio del honor y de la verdad.

1125 unidades, que le corresponde el valor de 1000 pulgadas, es un número de Aquiles:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125...

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2.

Expresado de otra manera:

1125 se descompone en estos dos factores: 32 X 53.

Si N es poderoso, y un número primo, p, divide a N, entonces p² también divide a N.

E, igualmente, 72 también es un número de Aquiles; que en la Geometría de la pared del fondo de Las Meninas quedó representado en doce distintas subdivisiones en la Tabla que denominamos La Cuadrícula de Aquiles.

LA ALTURA									LA ANCHURA
Metros	Pulgadas	Unidades			Cuadrícula		Cuadrícula			Unidades	Pulgadas	Metros
1,2276	52,8	59,4	=		72 x 0,825		72 x 1	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		36 x 1,65		36 x 2	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		24 x 2,475		24 x 3	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		18 x 3,3		18 x 4	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		12 x 4,95		12 x 6	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		9 x 6,6		9 x 8	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		8 x 7,475		8 x 9	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		6 x 9,9		6 x 12	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		4 x 14,85		4 x 18	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		3 x 19,8		3 x 24	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		2 x 29,7		2 x 36	=		72	64	1.488
1,2276	52,8	59,4	=		1 x 59,4		1 x 72	=		72	64	1.488

La Cuadrícula de Aquiles, que cubre totalmente a la pared del fondo, es la base geométrica del bastimento de Las Meninas.

Ante este Muro se estableció una relación de dependencia, por la que el más fuerte, el rey Felipe IV, daba protección y ennoblecía al más débil, Diego Velázquez, a cambio de comprometerse a guardar fidelidad y ejecutar, de manera segura, un trabajo cabalístico.

Ratio de la pared del fondo

59,4 unidades ÷ 72 unidades = 0,825

         En consonancia con la profundidad, los tamaños de los distintos elementos pintados en la pared del fondo de este lienzo se calculan dividiendo a La pulgada Castellana en 15 partes iguales en la rejilla de trabajo.

Es indudable que Diego Velázquez afrontó el lienzo de Las Meninas con la más adecuada Geometría, Aritmética y Matemática; considerando en esta investigación, además, la suma de otras ciencias vedadas en la época del pintor español.

Y será en la misma anchura del espejo de este lienzo en donde Velázquez proponga la regia medida del Pie Real.

        Aportamos cuatro aspectos o equivalencias de cualquier medida en la aplicación de la pulgada castellana en el estudio de este lienzo.

En busca de la unidad

        La Vara Real de Burgos, que equivale a tres pies, en la época de la construcción del Monasterio del Escorial, estandarizó el sistema de medidas en la península Ibérica; y así lo confirma la pragmática dictada por el monarca Felipe II el 24 de junio de 1568 [6]:

Y declaramos que la vara Caſtellana de que se ha de uſar en todos eſtos Reynos, ſea la que hay y tiene la ciudad de Burgos.

Aunque tengamos bien entendido que la pulgada castellana se divide en doce partes iguales llamadas líneas, no obstante, y sin contrariar al sistema de medición castellano, podríamos ya decir que Velázquez fracciona a la pulgada en 9 partes iguales para operar con la unidad en sus precisas operaciones:

8/9 de pulgada equivale a la unidad en la rejilla de trabajo.

Asevera el bachiller Iuan Perez de Moya en su libro ARISMETICA PRACTICA, Y ESPECULATIVA. Año M. DCIX:

El fundamento, o principio de la Ariſmetica, es la vnidad, aſsi como el punto lo es de la Geometria.

Los antiguos pitagóricos comparaban a la unidad, por ser divina, con el entendimiento, mientras que a la Ciencia, fundamentada en el Axioma y en la Doctrina, llamaban dos.

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.

la división velazqueña	la pulgada castellana
9 partes o fracciones	12 líneas
1/9 = 0,02325/9 = 0,002583333 metros	1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros

Será, por tanto, la unidad la quien defina en Las Meninas la Aritmética y Geometría del formato y tamaño de la pared del fondo pintada en este lienzo.

Leonardo da Vinci en su Trattato della Pittura; Parte terza - De' vari accidenti e movimenti dell'uomo e proporzione di membra, define la práctica de la perspectiva en estos términos:

Precetti di pittura CCCXLIX:

Y, aplicando a la perspectiva una conveniente razón geométrica, observaríamos el tamaño de la pared del fondo de Las Meninas a través de estos guarismos:

- FORMATO 8 -

La pulgada de 12 líneas

        Si una pulgada se divide en doce partes iguales llamadas doce líneas, entonces, la división velazqueña, fraccionada en nueve partes, equivaldría a la misma pulgada castellana de 23,25 milímetros, pero en consonancia con el sistema de medidas implementado en el lienzo de Las Meninas.

El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros.

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.

Y es en este paso dónde reconoceremos la precisión del sistema de medición usado en todo momento de este análisis.

La exactitud es la capacidad de un instrumento para medir un valor cercano a la magnitud real.

El cálculo de la profundidad

        Caso aparte es la división de la pulgada castellana en consonancia con la profundidad de Las Meninas, es decir; con el tamaño real de la pared del fondo medida en la distancia.

- FORMATO 30 -

DEMOSTRACIÓN

        La escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas es de: 1/3,75 = 0,266666666...

Hacer una demostración matemática no es tarea fácil, aunque, en el caso particular del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas, se puede comprobar, matemáticamente, a través del sencillo procedimiento de dividir la pulgada en quince partes iguales expresadas en unidades, y, seguidamente, multiplicar estas fracciones por una constante geométrica aritmética de 3,333333333… pulgadas por unidad.

3,333333333… pulgadas por unidad representa un valor de tipo permanente, al menos dentro del contexto o situación para el cual ha sido planeado.

Esa comprobación sólo será válida para los casos concretos que se comprueben.

Es decir; en todos los casos que hablemos del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas de Velázquez.

Nos serviremos de un ejemplo para explicar cómo funcionan estos números:

   Tomemos, en la columna de las unidades, la cantidad de 1,125, ahora multipliquemos 1,125 unidades por 3,333333333… pulgadas por unidad, el resultado se reflejará en la columna denominada:

Medidas reales en pulgadas, cierto, la solución es la esperada; 3,75 pulgadas castellanas.

Añadimos:

0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen en el mundo real de la pared del fondo a:

 0,3 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.

Unos números que se adaptan al cristalino del ojo en el acto espontáneo de mirar, y que, con científica sencillez, coinciden con la apertura del ángulo visual de Las Meninas.

División en quince partes	la pulgada castellana
15 partes o fracciones	12 líneas
1/15 = 0,02325/15 = 0,00155 metros	1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros

El compás

        El compás es un instrumento que sirve para determinar la figura más perfecta de todas; el círculo.

A su vez, y desde la antigüedad, la primera letra griega alfa mayúscula A, por su diseño triangular, está asociada a la forma de un compás abierto.

El compás representa, por tanto, varias cuestiones emblemáticas universales:

• La herramienta de la creación divina - Dios Arquitecto,

• el útil de acotación del límite del espacio,

• el símbolo de la Matemática, Geometría y Arquitectura

• y, también, a la tercera de las tres Grandes Luces que ilumina toda logia masónica.

El preciso compás de proporción, construido por Marco Antonio Mazzoleni en 1606 siguiendo las instrucciones de Galileo Galilei, permite, sin tener conocimientos matemáticos, dividir una línea en las partes que se desee, reproducir un plano a diferentes escalas o extraer raíces cuadradas y cúbicas [7].

El precursor del compás de Galileo fue el compás de proporción de ocho puntas del matemático italiano Fabrizio Mordente, que, con dos brazos con punteros, permitía la solución de problemas en la medición de la circunferencia, área y ángulos de un círculo.

En 1567 Fabrizio Mordente publicó en Venecia, en una simple hoja impresa, el tratado e ilustraciones de su dispositivo [8].

Toda una joya en la época de Velázquez [9].

El compás de eje desplazable consiste en dos piezas calibradas, fijadas a un centro móvil, donde la medición se traduce a escalas entre 1:2 a 1:15.

Este compás de cuatro puntas se utiliza para reproducir dibujos a mayor o menor tamaño; en la práctica de la pintura facilita medir objetos reales o bocetos preparatorios para ser plasmados a su formato definitivo en la superficie del lienzo.

Escribe Vitrubio en el capítulo II del Libro Noveno de Los Diez Libros de Arquitectura [10]:

Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, (...).

Hablamos, pues, del Triángulo Sagrado egipcio, nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyo lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones.

Estos tres números, 3, 4 y 5, utilizados para obtener un ángulo recto, tienen, a su vez, propiedades aritméticas y geométricas, y de coincidencias con períodos astronómicos, tales como el período de revolución sinódica de un planeta visible a simple vista, o los múltiplos mínimos comunes de varios de esos períodos.

El triángulo rectángulo semejante de lados: 15, 20 y 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto, y fue llamado Isíaco por la diosa Isis.

Será, por tanto, estos números consagrados pitagóricos los que midan el espacio profundo de Las Meninas.

En principio aplicaremos el Teorema de Pitágoras [11], más el cálculo de las medidas de los lados de los triángulos semejantes de Euclides [12], para averiguar la razón geométrica entre el tamaño real de la Habitación del Príncipe y el de la distante pared representada en Las Meninas.

Sea 60 el tamaño de la anchura de la Habitación del Príncipe, y 18 el valor de la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo.

      La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se evalúa cuántas veces contiene una a la otra.

Con estas medidas reseñadas obtendríamos la siguiente razón geométrica en un compás abierto de cuatro puntas:

Hablamos, pues, de la Geometría de los egipcios, de Pitágoras, de Tales de Mileto, de Euclides ... y de Diego Velázquez.

La razón geométrica 3,333333333... adaptada a un compás de eje desplazable operaría del siguiente modo en el sistema de medidas castellano:

LA GEOMETRÍA DE LA PROPORCIÓN     La pulgada en la rejilla de trabajo y su equivalencia sobre la pared del fondo.     PLANTEAMIENTO El rectángulo de trabajo mide 64 x 128 líneas. 1 pulgada se compone de 12 líneas de 0,09375 unidades = 1,125 unidades. 3 pulgadas y 9/12 se compone de 40 líneas de 0,09375 unidades.   DEMOSTRACIÓN La proporción: 40 / 12 = 3,333333333... 3 pulgadas y 9/12  / 1,125 unidades  = 3,333333333... pulgadas por unidad.

Apertura en un rectángulo

En conclusión, el planteamiento de la Geometría de Las Meninas resulta ser de inspiración pitagórica de acuerdo al patrón de medidas heredado del abuelo de Felipe IV, el rey Felipe II.

Sea 240 pulgadas el tamaño de la anchura de la Habitación del Príncipe, y 72 unidades el valor de la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo:

240 pulgadas  / 72 unidades  = 3,333333333... pulgadas por unidad.

El indicio de la existencia de una constante matemática da pie para determinar, ahora sí, el cálculo exacto del tamaño de la Habitación del Príncipe.

La escala de la pared del fondo

        La distancia entre la vista y lo que se ve ha de ser proporcionada; ya que el tamaño de cualquier objeto o figura, aunque se localice muy distante, debe armonizar con la lejanía plasmada en el lienzo.

Y como indicó Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez:

Así la distancia ha de corresponder a la vista con cierta razón y proporción de ángulos.

El ancho del lienzo de Las Meninas mide la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y el tamaño de la anchura de la pared pintada equivale a 1/3,75 de esta misma sala [13].

• La anchura inicial de Las Meninas es de 120 pulgadas, que corresponde a 2,79 metros.

• Luego la anchura de esta sala será de 2,79 metros x 2 = 5,58 metros = 20 pies = 240 pulgadas.

• La dimensión transversal de la distante pared pintada es de 1,488 metros = 64 pulgadas.

• La relación entre el tamaño de como se pinta la pared del fondo y su tamaño real: 1,488/5,58 = 0,266666666...

• Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666666..

Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe

La escala y la perspectiva

        La cuestión del tamaño de la pared del fondo está relacionada directamente con la perspectiva:

Y, a su vez, la altura real de esta sala de palacio depende de la siguiente relación numérica:

44 pulgadas x 4 x 1,125 = 198 pulgadas.

Más allá de lo ya analizado, pondremos a prueba un Caso especial de medición en la distancia, y su relación matemática con la rejilla de trabajo.

Ya hemos observado que el ancho del lienzo de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y que la anchura real de esta misma sala está representada, proporcionalmente, en la pared del fondo de esta pintura.

Esta relación se descubre del siguiente modo; 120 pulgadas corresponden al tamaño original de la anchura de Las Meninas, y 64 pulgadas es lo que mide la anchura de la pared del fondo pintada en este lienzo:

64/120 = 8/15 = 0,533333333...

La Escala de representación de 0,533333333... prueba que la anchura del lienzo de Las Meninas corresponde a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe.

0,6 unidades por pulgada x 240 pulgadas = 144 unidades.

144 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 128 pulgadas.

Y 128 pulgadas = 64 pulgadas x 2; es decir el doble de la anchura en pulgadas de la pared pintada del fondo.

Y al mismo tiempo, el coeficiente de ampliación de 3,75 confirma que el Tamaño real de esta sala de 240 pulgadas de anchura está en relación directa con la distancia sugerida en la pared pintada del fondo de Las Meninas:

Tamaño real:

64 pulgadas x 3,75 = 240 pulgadas

En cualquier caso, desde la antigüedad la relación entre el tamaño aparente y la distancia percibida de un objeto determinado del campo visual quedó formulada en la denominada Ley de Euclides, que dice así:

La distancia entre el objeto y el observador es inversamente proporcional al tamaño de dicho objeto.

El tamaño de un objeto disminuye en función a la distancia de forma inversamente proporcional, es decir; a doble de distancia a este mismo objeto le corresponde la mitad de su tamaño.

Génesis de la Perspectiva

        Y cierto es que el Pie Real mide 0,279 metros, y que la anchura de Las Meninas medía 2,79 metros, es decir, diez veces el Pie Real; que completarían, entonces, la anchura de este lienzo con 10 pies, que también equivalen a 120 pulgadas.

Una reciprocidad consistente en la que sólo intervienen números enteros.

En pintura, la mirada del pintor se propaga en las distancias, estudia las diferentes calidades de luz, en las penumbras y sombras, en las luces claras y oscuras, en las frías y calientes; de tal manera, que la superficie del lienzo funciona como un plano transparente, vertical al suelo, en la intersección con su modelo.

Escala 1:2

Calibración de la anchura y altura del lienzo de Las Meninas.

Magister Matheseos

        Al rey de Egipto Meris se le atribuye la invención de la Geometría, y desde entonces vino la facultad del medir, que, poco a poco, creció en nuevas invenciones hasta los tiempos de Pitágoras, natural de la isla de Samos.

Cuentan que Pitágoras ideó las delineaciones, las formas, los intervalos, las distancias y las cantidades; entre las cuales halló la virtud de la potencia del triángulo rectángulo, con tanto contentamiento y satisfacción de haberle hallado, que se dice que en pago de la merced recibida ofreció a la diosa Minerva el sacrificio Hecatombe en el cual sacrificó cien vacas.

En la Edad Media la demostración de esta proposición otorgaba el preciado grado de Magister Matheseos, maestro de Matemáticas, queriéndose dar a entender de que el Teorema de Pitágoras es la base de toda sólida formación Matemática y de la Geometría.

Ha tomado 350 años descubrir una fórmula explicita que explique gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y posibilite reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición.

El conocimiento del sistema de medidas de la época de Velázquez facilita acceder a las habituales normas ópticas y geométricas de la profundidad espacial, pero también proporciona, a ciencia cierta, el modelo e idea original del trazado de la Geometría de esta pintura, lo cual constituye, además, la recuperación del plano inicial de Las Meninas.

Esta comprometida empresa está basada en dos ideas complementarias que garantizan la legítima génesis geométrica de Las Meninas:

• Una la del Teorema de Tales de Mileto [14], que afirma que cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,

• y la otra compartida por dos ilustres geómetras; el Teorema de Pitágoras y la Proposición 47 de Euclides [15].

La Habitación del Príncipe mide 240 pulgadas de ancho, y el eje vertical al mide físicamente; 240 pulgadas + 60√3 pulgadas.

60√3 equivale geométricamente a; ab² - bd² = ad².

Ahora sustituiremos estas letras por cifras; si ab = 120 y bd = 60; luego ad = √ (120² - 60²) = √10800 = 60√3.

Como hemos confirmado, el ancho del área geométrica de Las Meninas equivale a 240 pulgadas.

Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas

Formato en la Anchura y Horizonte de Las Meninas

DEMOSTRACIÓN por el punto de origen 0, y a 60√3 pulgadas del vértice a, corre la paralela horizontal correspondiente al diámetro del semicírculo cb, y que, a su vez, pertenece al lado de la base, y también hipotenusa, del triángulo pitagórico cab de la Proposición 47 de Euclides. por el enclave del punto de fuga transita la perpendicular al procedente del vértice a del ángulo recto del triángulo cab, la Línea de tierra de Las Meninas se halla localizada en la altura media de este plano, en la altura del Horizonte se determina el tamaño pictórico de la anchura de la pared del fondo que equivale a 320 pulgadas / 5 = 64 pulgadas y la escala definida por el tamaño de la pared pintada en el fondo de Las Meninas respecto al tamaño real de la Habitación del Príncipe: Luego la escala de representación de la pared del fondo será:   0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75.

Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.

La vista obedece al número

        Luca Pacioli manifiesta en su tratado DE DIVINA PROPORTIONE que el saber tuvo su origen en el sentido de la vista; y de ahí que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta.

En el Renacimiento, y de acorde con la idea de que el hombre es la medida de todas las cosas, se aplicó la proporcionalidad del cuerpo humano a todo tipo de arte:

Un sistema antropométrico de medición consolidado en dedos, codos, palmos o pies.

En la Villa Barbaro, proyectada por Palladio, encontramos un ejemplo bien ilustrado de un cazador asomado a una puerta simulada, y autorretrato del pintor Paolo Veronés, fundido en el conjunto de la obra arquitectónica, a semejanza de la idea de Leonardo da Vinci, como también lo fue para Alberto Durero, en la que toda práctica pictórica debía sustentarse en la ciencia de la Matemática y Geometría.

En nuestro ejemplo, José Nieto, el Aposentador de la reina, será quien salvaguarde la proporción y el tamaño real de cada objeto en la distancia.

• La anchura de la Puerta mide 18,9 unidades

Factorización de 3 x 3 x 3 x 7 = 189.

Los divisores del número 189 son 8:

1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.

• La altura de la Puerta mide 30 unidades

Factorización de 2 x 3 x 5 = 30.

Los divisores del número 30 son 8:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

LA ALTURA						LA ANCHURA
Metros	Pulgadas	Unidades		Cuadrícula		Cuadrícula		Unidades	Pulgadas	Metros
0,62	26 y 10/15	30	=	30 x 1		18,9 x 1	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	15 x 2		6,3 x 3	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	10 x 3		2,7 x 7	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	6 x 5		2,1 x 9	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	5 x 6		0,9 x 21	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	3 x 10		0,7 x 27	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	2 x 15		0,3 x 63	=	18,9	16 y 12/15	0.3906
0,62	26 y 10/15	30	=	1 x 30		0,1 x 189	=	18,9	16 y 12/15	0.3906

Señalaremos la idea más compleja; la puramente geométrica de esta Puerta de madera.

Matemáticamente, pues, hemos acotado diecinueve alturas niveladas por el Horizonte de Las Meninas, y así rehacer el trazado de la Puerta de madera semiabierta de 22 cuarterones en el vano de la anchura de las dos jambas.

La escala, ya sea de ampliación o disminución, es la relación entre el tamaño real de un objeto y su tamaño final en el dibujo.

Así, en este caso, una escala de 1/3,75 significa que en la distancia una pulgada en la pared del fondo de Las Meninas, y cuyo valor en la rejilla de trabajo es de 1,125 unidades, representa en el mundo real a 3,75 pulgadas.

Análisis de 1/5 de la altura de la Puerta

        La Geometría es una rama de la Matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio; incluyendo puntos, rectas, superficies...

La base teórica del dibujo técnico queda establecida por los instrumentos usados para su práctica; como la regla, el compás, la escuadra...

El razonamiento matemático trabaja con operaciones elementales de cálculo numérico, de lo cual se originan series matemáticas.

La rejilla de trabajo sobre la altura de la jamba de la  Puerta del fondo de Las Meninas mide 30 unidades.

Tenemos:

30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes.

La altura de la jamba queda dividida, por tanto, en cinco partes iguales:

400 partes / 5 = 80 partes.

Y al mismo tiempo:

0,075 unidades x 80 partes = 6 unidades por cada 1/5 de la altura de la Puerta del fondo.

La perspectiva lineal, surgida de la observación, negaba los postulados geométricos aceptados en el siglo XV; sin embargo, cuando Velázquez pinta a Las Meninas en el año 1656, ya existía la suficiente Matemática y Geometría que engranase del todo los números analizados, y, no obstante, en la que toda práctica pictórica debe sustentarse.

        Piero della Francesca es el único pintor del Renacimiento que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la Geometría.

A la muerte de Piero della Francesca sus investigaciones inspiró a notables autores de tratados de Geometría; en el libro DE DIVINA PROPORTIONE de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, los estudios de Piero, sobre los sólidos geométricos, están presentes.

En la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, este postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u Horizonte.

   Este análisis geométrico y matemático confirma; que la profundidad escalonada de los cinco planos laterales de la arquitectura de la pared derecha de Las Meninas están convenientemente dispuestos de manera segura.

La perspectiva lineal que analizamos es un nuevo hallazgo del estudio de la profundidad de Las Meninas.

LA GEOMETRÍA

        Algunos autores distinguen entre dos especies de perspectiva; la geométrica y la artística, pero en realidad hay una sola perspectiva, que es la exacta.

El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto.

Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615 [16].

Anchura de la sala donde se pintan Las Meninas más el incremento de 100 pulgadas hasta el punto de fuga de la Puerta de madera.

La altura y anchura real de la Puerta

        Ya hemos analizado los nueve niveles de cuarterones que fugan hacia a nuestra derecha; y también observado que las formantes diagonales de estos cuarterones no se agrupan en un único punto.

Velázquez hace uso de una perspectiva manipulable al alcance de la anchura de sus hombros.

Sin embargo, sí existe un punto de fuga auxiliar para la Puerta de 22 cuarterones, siendo en verdad la anchura entre las jambas, de 16 pulgadas y 12/15, el patrón de medida hasta este infinito lejano.

La distancia entre el punto de fuga principal del lienzo, coordenada del punto X; [18, -12], que se localiza debajo del brazo levantado en diagonal del Aposentador José Nieto, y el punto de fuga auxiliar K del cual tratamos de la Puerta de cuarterones, coordenada; [198, -12], es de 180 unidades.

180 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 160 pulgadas.

En el sistema métrico tendríamos:

160 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 3,72 metros.

Como observamos en la ilustración, el espacio de trabajo mide:

• 18,9 unidades el ancho de las jambas, es decir; 16 pulgadas y 12/15,

• y la altura del cerco 30 unidades, es decir; 26 pulgadas y 10/15.

No quisiéramos remarcar, específicamente, ninguna línea en particular, pero sí comentar que no es necesario un instrumento muy sofisticado para su elaboración; cualquier regla de madera graduada adecuadamente valdría para su construcción.

   El ancho de las jambas es el módulo regulador de la distancia hasta este infinito lejano, y es usado como patrón de medida 10 veces.

El punto P y el punto j son dos acotaciones obligadas, y dan paso a la lectura de todas las alturas o ordenadas de los 22 cuarterones de la Puerta de madera en su disminución, o perspectiva.

P : [ X = 9 ; Y = 0 ]

j : [ X = 27,9 ; Y = 0 ]

Como hemos comentado 18,9 unidades es el ancho total de las jambas del cerco de la Puerta tal cual fue pintada, aunque si queremos traducir esta cantidad al sistema antiguo castellano sobre la rejilla de medición sólo habrá que dividir 18,9 unidades entre 1,125 unidades por pulgada.

Es decir; el resultado son 16,8 pulgadas = 16 pulgadas y 12/15.

Cantidad que equivale en el sistema métrico a:

16,8 pulgadas X 0,02325 metros por pulgada = 0,3906 metros.

• El ancho real en la distancia de las jambas de la Puerta sería:

18,9 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 62,999999999 pulgadas.

63 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 1,46475 metros.

• Y la altura real en la distancia del cerco de la Puerta sería:

30 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 99,999999999 pulgadas.

100 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 2,325 metros.

Y de igual modo nos aproximaremos a la estatura del Aposentador:

20,25 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 67 pulgadas y 6/12 = 1,569375 metros.

Luego serán las medidas Castellanas las que relacionen a la Pintura, Geometría y Aritmética en Las Meninas.

Y comprobaremos que la media Vara Castellana de altura del Aposentador José Nieto, que equivale a 18 pulgadas, es también múltiplo de las 198 pulgadas de la altura real de la pared del fondo.

198 / 18 = 11, es decir; José Nieto se pinta, exactamente, 11 veces más pequeño que la altura real de esta pared.

En el fondo y en la forma hemos planteado una necesidad de la belleza; la Proporción, y una Aritmética, ciencia hermana de la racionalidad, como vehículo del conocimiento de lo real.

En ese caso, la exhaustiva explicación del engranaje de la Geometría de Las Meninas equivale a Las Meninas.

notas a pie de página

1 - Página 37 - Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.

2 - A finales del reinado de Felipe II, Juan de Herrera, el arquitecto del Escorial, será el promotor y primer director de la Academia Real Matemática; comenzando su andadura en dependencias de Palacio a partir de Octubre de 1583.

A  partir de 1612, la Academia ejercerá su labor didáctica en casa del Marqués de Leganés, hasta que es clausurada en 1630; fechas en las que aún Diego Velázquez tuvo ocasión de estudiar y practicar sus instrumentos antes de viajar por primera vez a Italia.

Don Diego de Messía, Marqués de Leganés, primo carnal del Conde Duque de Olivares, fue tanto el promotor de la conquista por lo exacto, como experto coleccionista de pintura.

Según se deduce del inventario de su Segundo mayorazgo, y de acorde a Mary Crawford Volk, en 1642 había en esta colección, al menos, cinco obras de Velázquez:

• El retrato de la Reina de Hungría, hoy en el Museo del Prado,

• uno de Calabazas con turbante,

• otro de Pablillos,

• un autorretrato del propio pintor

• y un San Francisco de Paula con dos compañeros.

Paralelamente, en 1581 María de Austria, hija de Carlos V, al morir su esposo, el emperador Maximiliano, se retiraba a Madrid; y generosa benefactora de los jesuitas en Alemania, lo continuó siendo en la capital de España.

A la muerte de María el pequeño colegio, que la Compañía de Jesús había fundado en 1572, se le denominará Colegio Imperial.

En 1624, tras el fallecimiento de Juan Bautista Labaña, el último que quedaba de la fundación de la academia de Madrid, y que había sido profesor de matemáticas de un entonces joven príncipe Felipe, por real decreto, en el Colegio se crearán veintitrés cátedras en Enero de1625.

Las materias que impartiría el Colegio incluirían las lenguas clásicas, la historia, la filosofía natural, las matemáticas, las artes militares, políticas y económicas; para, así mismo,  interpretar las de Aristóteles, ajustando la razón de estado con la conciencia, religión y fe católica.

El rey se constituía como fundador y patrón de los Estudios Reales, función que había de pasar a sus sucesores.

A la postre, el Colegio Imperial, en Febrero de 1629, se haría cargo de la enseñanza de las Matemáticas en la Corte.

3 - En esta época, la aplicación de las Matemáticas toma vertientes muy diversas;

• al cálculo mercantil,

• a la fundamentación de la cosmografía,

• a la astrología,

• al arte de navegar,

• al arte militar

• y a la técnica de la construcción.

Sin embargo, era heroico el de algunos practicarla a principios del siglo XVII en el Reino de las Españas, ya que, tal y como afirma el valenciano Miguel Geronimo de Santa Cruz; quien contar no supiese no se le tenía como hombre.

Página 54. LIBRO DE ARITHMETICA ESPECULATIVA Y PRACTICA. EL DORADO CONTADOR de Miguel Geronimo de Santa Cruz. Impreso en Sevilla. 1601.

4 - Uno de los libros más antiguos que hemos estudiado sobre; Aritmética, Álgebra, Trigonometría y otros cálculos, es del año 1688, editado por el Colegio de la Compañía de Jesús de la ciudad de Cádiz.

En este libro se pone a prueba, didácticamente, la eficacia de los números; en los quebrados, en las proporciones..., y su aplicación práctica final trasladada a la Arquitectura Militar.

THESES MATHEMATICAS - Defendidas por: El Exmo. Señor Don Iñigo de la Cruz Manrique de Lara Remirez de Arellano Mendoza y Alvarado, Conde de Aguilar, Señor de los Cameros, Marqués de la Hinojoſa, Conde de Uillamor, Señor del Eſtado de Andaluz, y Mayalde, y de la Caſa de Carrillo en el Reyno de Nauarra, &c. - Cadiz - Año 1688 - XXII de Junio.

5 - La opinión del maestro de Velázquez nos merece el mejor ejemplo, y advierte:

Página 284 - Libro Segundo. Arte de la Pintura su antigüedad y grandezas. Francisco Pacheco. Sevilla. 1649.

Primera Tabla

Formatos en base al tamaño de la anchura de 72 unidades de la pared del fondo.

Segunda Tabla

Formatos en base al tamaño de la altura de 59,4 unidades de la pared del fondo.

6 - En el año 1567, y tras el fracaso del Ordenamiento de Montalvo iniciado por los Reyes Católicos en 1484, Felipe II promulga el Código conocido como Nueva Recopilación de las Leyes de España, mediante el cual intenta acabar con el caos legislativo existente.

Dentro de este Código recopilado por las Cortes de Valladolid y Madrid a partir de 1523; de las Leyes del Fuero Real, las 18 Leyes de Toro, el Ordenamiento de Alcántara y el de Montalvo, se enmarca la pragmática dictada por el propio monarca desde El Escorial el 24 de junio de 1568:

        Y otroſi, que el paño y lienço y ſayal, y las otras coſas que ſe venden a varas, que ſe vendan por la vara Caſtellana: y en cada vara, que den una pulgada al traues, y que se midan el paño por eſquina: y declaramos que la vara Caſtellana de que ſe ha de vſar en todos eſtos Reynos, ſea la que hay y tiene la ciudad de Burgos.

Libro quinto - Titulo XIII. RECOPILACION de las Leyes deſtos Reynos, hecha por mandado de la Mageſtad Catholica del Rey don Philippe Segundo nuestro Señor. Alcala de Henares, en casa de Iuan Iñiguez de Liquerica impreſſor de libros. Año M.D.LXXXI.

7 - LA OPERAZIONE DEL COMPASSO GEOMETRICO ET MILITARE DI GALILEO GALILEI. PADOVA, M.DC.XL.

8 - IL COMPASSO. Con Altri Istromenti Mathematici. Fabritio Mordente. Anversa. M. D. LXXXIIII.

9 - En el Inventario del 11 de Agosto de 1660 de los bienes de Velázquez se especifica, en el apartado 31- 32, dos compases de bronce.

Página 304 - Velázquez. Homenaje en el centenario de su muerte. Instituto Diego Velázquez. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid, 1960.

10 - Página 349 - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradotti & commentati da Monſ. Daniel Barbaro eletto Patriarca d´Aquileia, da lui riueduti & amplati; & hora in piu commoda forma ridotti. In Venetia, MDLXVII.

Libro IX – Cap. II.

Della ſquadra inuentione di Pitagora per formare l´angulo giusto.

Pitagora ſimilmente dimoſtrò la ſquadra ritrouata ſenza opera di artefice alcuno, & fece chiato con quanto grande fatica i fabri facendola, a pena la poſſono al giuſto ridurre. Queſta coſta con ragioni, & uie emendata, da ſuoi precetti ſi manifeſta: perque ſe egli ſi prenderà tre regole, una di piedi tre, l´altra di quattro, la terza di cinque, & queſte regole compoſte ſiano, che con i capi ſi tocchino inſieme facendo una figura triangulare, condurranno la ſquadra giuſta.

11 - Página 95 - Tratado de Geometria Practica y Speculatiua. Iuan Perez de Moya. Alcala. M. D. LXX. III.

Escribe el español Iuan Perez de Moya:

12 - Libro I - Theorema. 2. - Propoſition. 5.

Los angulos de los triángulos yſoſceles que eſtan ſobre la baſis ſon entreſi yguales. Y eſtendidas las lineas rectas yguales, ſeran tambien yguales entreſi los angulos que eſtan debajo de la baſis.

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.

13 - La escala es la relación proporcional entre la dimensión real de un objeto y las de este mismo objeto representado sobre un plano.

Página 36 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598.

14 - Se atribuyen a Tales de Mileto varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides:

• La definición: I. 17.

• Y las proposiciones: I. 5 - I. 15 - I. 26 - III. 31.

Libro III - Theorema. 27. - Propoſition. 31.

En el circulo, el angulo que eſta en el medio circulo es recto, y el que eſta en el ſegmento mayor, es menor que recto, y el que en el menor ſegmento, es mayor que recto. Y de mas de eſto el angulo del mayor ſegmento es mayor que recto; y el angulo del menor ſegmento es menor que recto.

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.

15 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.

16 - Página 86 - DISCVRSO XCIIII. DE LOS ARQUITECTOS EN vniverſal, Fortificadores de Fuerças, y maeſtros de maquinas, o Ingenieros. Plaza Vniuersal de todas Ciencias y Artes - Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615.