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La Puerta de la Academia


       
Sabíamos que sería muy comprometido lograr que nuestras expectativas se volvieran ciertas; las herramientas adecuadas, y el tiempo de estudio necesario, han sido la clave del perfeccionamiento de un método aritmético y geométrico exacto.

 

Si concebimos a Las Meninas como modelo de gran inventiva, se deduce de su autor el fruto del provecho de sus saberes, y que, como Fidias en la escultura, hizo del guarismo la armonía de su estilo naturalista.

 

El número, como principio universal inherente al Universo, ordena el arte de Las Meninas.


 


- LA MANO -

De Diego Velázquez y de Luca Pacioli.


 

A finales del siglo XV, Luca Pacioli en su libro DE DIVINA PROPORTIONE [1], título que hace referencia a la proporción del número áureo, escribe:


 

   De ahí que entre los sabios se acostumbra a decir, según proverbio común: Aurum probatur ignis et ingenium mathematicis, es decir, que la bondad del oro la demuestra el fuego y la calidad de los ingenios las disciplinas matemáticas. Y esta sentencia pretendía expresar que el genio apto para las matemáticas lo es también para las otras ciencias (...).

 

   (...) Platón negaba, no sin razón, la entrada a los que ignorasen la geometría en su celebérrimo gimnasio, sobre cuya puerta principal colocó, en letras grandes y bien inteligibles, una breve inscripción con estas formales palabras: Nemo huc geometriae expers ingrediatur, es decir, que no entrase quien no fuese un buen geómetra; e hizo esto porque en la geometría se encuentra oculta toda otra ciencia.


 

A pesar de que Velázquez confirme en esta obra de arte su interés científico por todo tipo de efecto lumínico, el objetivo de este análisis es, asimismo, establecer la diferencia entre la imagen pintada del natural, y la de aquella suscitada en algunas inequívocas pinceladas.


 


En la misma zona de la Puerta localizamos la Sefira nº 7 -
Nectzah - La Victoria.


 

En Las Meninas, la Puerta de madera semiabierta abre paso hacia un certero y distante punto matemático, y a una Geometría donde se encuentra oculta toda otra ciencia, como así señaló Luca Pacioli, y Diego Velázquez expresó a la española.

 

Este área concreta de Las Meninas representa la presencia del nombre de uno de los diez Sefirot de la Kabala, la Sefira número siete, situada ante el retrato de la menina Isabel de Velasco y la silueta del Aposentador José Nieto, y que, ordenada por Geometría, custodia la efigie del protagonista más importante de la tradición.

 

Conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino consolidado en la cabeza de la menina que analizamos, porque, ya que los antiguos cabalistas situaron en las esferas del Árbol de la Vida los patriarcas bíblicos según su naturaleza, Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó representado al pie de la columna derecha.


El patriarca Moisés

        Este nuevo personaje comparte con esta menina la posición de su oreja, tiene apariencia masculina, de tez morena y avanzada edad, poblada barba agrisada, de aspecto bíblico, mira hacia la luz que entra por la ventana de la derecha, tiene cara de suplicar y de estar en trance a la par, los toques de pintura blanca y oscura, además de ser texturados como pelos, tienen el añadido de ser componentes caligráficos hebraicos.

 


Los cabellos de la menina Isabel de Velasco & Carta XXX - Tarocchi de Mantegna - Alberto Durero. 1505.


Veamos los muchos contenidos simbólicos que se ocultan tras la menina Isabel de Velasco, en la Sefira nº 7 Nectzah, La Victoria, según argumenta Athanasius Kircher.


   Septimum veſtimentum Dei ſeu Sephirah dicitur נצח Netſah, id eſt, triumphus, victoria, ſeu æternitas, cui nomen יהוה צבאות Adonai Tſebaoth. Eius attributa ſunt, Crus, pes, columna dextera, rota magna, viſio Prophetæ. Canalis eſt, per quem Deus influit in Principatus, & per Intelligentiam Haniel in Cœlum Veneris. Plantarum cauſa & origo eſt.


Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.


 

No obstante, la percepción de estas Esferas oscila entre la certeza de Su inmaterialidad y el de Su vínculo con el mensaje interno de Las Meninas.

 

Las diez esferas + una enaltecen el acto social pintado por Velázquez, y convocan un organismo vivo denominado:


La Cara mística de Dios.




Localización de los 10 Sefirot + Dahat en el espacio pictórico de Las Meninas.



Los diez Sefirot constituyen las distintas etapas del proceso creativo divino, que se simboliza en nuestro mundo físico a través del Árbol de la Vida.

 

Es, pues, verdad que en Las Meninas están sugeridas cuestiones más que sagradas.

 

Confirmamos, pues, que la Geometría de Las Meninas también se manifiesta simbólica en el espacio aéreo a través de los 10 Sefirot + Dahat, y, de igual suerte, que en el retrato de Luca Pacioli, según dicen pintado por Leonardo da Vinci, se representa un poliedro colgado de un cordel en una obra adquirida a principio del siglo XX por el Museo de Capodimonte de Nápoles.


 

Kepler llamó a este poliedro el rhombicuboctahedron.


Retrato de Luca Pacioli


 

Un pintor de la categoría de Velázquez, que anhelaba abrir las puertas de la Escuela de Platón, tuvo la oportunidad de ampliar sus conocimientos en la Academia de Matemáticas de Madrid [2].

 

En esta época se consideraba a la Aritmética y Geometría el fundamento del Arte liberal de las Matemáticas.

 

Miguel Geronimo de Santa Cruz rememora su hallazgo de esta manera [3]:

 

        La Practica de Aritmética, como afirma Juan de Sacrovoſco, (matemático del siglo XV), fue dada compedioſa en luz de vn Filoſofo llamado Algo, y por aqueſta cauſa fue llamado el Guariſmo.

 

La Aritmética que estudió Velázquez se componía de cinco reglas o guariſmos principales:


 

   No ſe han de contentar los hombres con ſolamente ſaber las dichas cinco reglas principales, aunque con ellas ſe practican todas las quentas del mundo, mas es meneſter ſaberſe aprovechar de ellas, y aplicarlas donde fuere meneſter, cada vna en ſu caso, y lugar, y ſaber obrar con ellas las reduciones de las monedas, y de los quebrados, y como ſe ha de hazer vna regla de tres, ó vna regla de compañias, y las demás queſtiones, que ſe ſuelen ofrecer en el Arte mercancial, y en otras Artes; porque ſi no ſaben la practica, ni vſar de las dichas cinco reglas, podré comparar las tales, que le ſirven al Contador, como las colores, y matizes al Pintor, las quales colores no baſta ſaberlas hazer, ni tenerlas diſtintas en los vaſos, y conchas, ſino que ha de ſaber hazer vna figura, ó imagen, practicando con artificio la pintura que quiere pintar, aplicando para cada coſa, las colores convenientes, é irlas aſſentando con ſu pincel, y ſaberse aver con ellas, para pintar vnos lexos, ó vn arbol, ó lo que ſe le ofrece; y ſi no ſupieſſe el Arte de pintar, ó la proſpectiva, poco aprovechará ſaber hazer las colores; mas ſabiendo lo vno, y lo otro, ſería Pintor perfecto; y aſsí el que no deprendiere mas de las cinco reglas principales de quentas, gozará de la flor, y no del fruto, ni del fin que pretende, y ſi lo consiguiere, ſerá con mucho trabajo, y raras vezes.




 

Tablas de cálculo geométrico


       
En la medición de la superficie de este universo de pintura ha sido necesario recuperar del olvido el viejo sistema de medidas castellano, aunque para su manipulación habría que distinguir tres tipos de normas [4]:

Básicamente, estas tres normas dan paso al proceso de medir con realidad, profundidad y exactitud cualquier esquina de Las Meninas [5].


 


Detalle de la cuadrícula

 

El Pie Real equivale a 13,5 unidades en la rejilla de trabajo.


 

   Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas.


 

Aportamos cuatro aspectos o equivalencias de cualquier medida en la aplicación de la pulgada castellana en el estudio de este lienzo.


 

Unidades de trabajo

Cuadrícula geométrica

Medidas castellanas

Sistema métrico

3

1 cuadradito

pulgadas

milímetros

2,666666666

62




 

En busca de la unidad


        Tenemos bien entendido que la pulgada castellana se divide en doce partes iguales llamadas líneas.

Y sin contrariar al sistema de medición castellano, podríamos ya decir que Velázquez fracciona a la pulgada en 9 partes para operar con la unidad en sus precisas operaciones:


 

8/9 de pulgada equivale a la unidad en este plano.


 

Asevera el bachiller Iuan Perez de Moya en su libro ARISMETICA PRACTICA, Y ESPECULATIVA. Año M. DCIX:

 

El fundamento, o principio de la Ariſmetica, es la vnidad, aſsi como el punto lo es de la Geometria.

 

Los antiguos pitagóricos comparaban a la unidad, por ser divina, con el entendimiento, mientras que a la Ciencia, fundamentada en el Axioma y en la Doctrina, llamaban dos.


 

   En la siguiente tabla se plasma el descubrimiento del valor de la pulgada castellana convertida a unidades; lo cual significa que nos hallamos ante la cuantía de 1,125 unidades por pulgada, o número roseta, que traduce las pulgadas castellanas en cualquier clase de sistema de medidas longitudinales, y que, con extrema exactitud, también nos pone en contacto con las dimensiones reales de Las Meninas.


 

Unidades División de la pulgada en 9 partes Pulgadas Milímetros en el sistema métrico
1,125 9/9 1 23,25
1 8/9 0,888888888 20,66666666
0,875 7/9 0,777777777 18,08333333
0,75 6/9 0,666666666 15,5
0,625 5/9 0,555555555 12,91666666
0,5 4/9 0,444444444 10,33333333
0,375 3/9 0,333333333 7,75
0,25 2/9 0,222222222 5,166666666
0,125 1/9 0,111111111 2,583333333


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el milímetro centesimal.

 

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.


 

   La pulgada fraccionada en nueve partes, que hemos denominado la división velazqueña, está en relación directa con cada una de las 12 partes, ó 12 líneas, en las que se divide la pulgada castellana, a través de las cantidades 3 y 4; números correspondientes al tamaño de los lados del triángulo pitagórico o escuadra perfecta.


 

la división velazqueña la pulgada castellana
9 partes o fracciones 12 líneas
1/9 = 0,02325/9 = 0,002583333 metros 1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros


 

Será, por tanto, la unidad la quien defina en Las Meninas la Aritmética y Geometría del formato y tamaño de la pared del fondo pintada en este lienzo.

 

Leonardo da Vinci en su Trattato della Pittura; Parte terza - De' vari accidenti e movimenti dell'uomo e proporzione di membra, define la práctica de la perspectiva en estos términos:

 

Precetti di pittura CCCXLIX:

 

        La Proſipettiua è briglia, e timone della Pittura.

La grandezza della figura dipinta dourebbe moſtrare a che diſtanza ell'è veduta.

Se tu vedi vna figura grande al naturale, ſappi che ſi dimoſtrerà eſſer preſſo all'occhio.

 

        La Perspectiva es la rienda, y el timón de la Pintura.

El tamaño de la figura que se pinte deberá mostrar a que distancia es observada.

Y si ves una figura de tamaño natural, considera que está junto a la vista.


 

Y, aplicando a la perspectiva una conveniente razón geométrica, observaríamos la pared del fondo de Las Meninas a través de estos guarismos:


 

- FORMATO 8 -

 

Formato Valor de la pulgada La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros


La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros.


 

Formato Valor de la pulgada La altura   Pulgadas por unidad   Altura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 59,4 unidades X 0,888.888 = 52 y 12/15 pulgadas 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros


La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros.




 

La pulgada de 12 líneas


        Si una pulgada se divide en doce partes iguales llamadas doce líneas, entonces,
la división velazqueña, fraccionada en nueve partes, equivaldría a la misma pulgada castellana de 23,25 milímetros, pero en consonancia con el sistema de medidas implementado en el lienzo de Las Meninas.


 

Unidades División de la pulgada en 12 líneas Pulgadas Milímetros en el sistema métrico
1,125 12/12 1 23,25
1,03125 11/12 0,916666666 21,3125
0,9375 10/12 0,833333333 19,375
0,84375 9/12 0,75 17,4375
0,75 8/12 0,666666666 15,5
0,65625 7/12 0,583333333 13,5625
0,5625 6/12 0,5 11,625
0,46875 5/12 0,416666666 9,6875
0,375 4/12 0,333333333 7,75
0,28125 3/12 0,25 5,8125
0,1875 2/12 0,166666666 3,875
0,09375 1/12 0,083333333 1,9375


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el milímetro centesimal.

 

El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros.

 

1 Pulgada = 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros.


 

Y es en este paso donde reconoceremos la exactitud del sistema de medición usado en todo momento de este análisis.

 

La exactitud es la capacidad de un instrumento para medir un valor cercano a la magnitud real.


 


La pulgada fraccionada




 

El cálculo de la profundidad


        Caso aparte es la división de la pulgada castellana en consonancia con la profundidad
de Las Meninas, es decir; con el tamaño real de la pared del fondo medida en la distancia.


 

- FORMATO 30 -

 

Formato Valor de la pulgada La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
30 9/30 = 0,3 unidades 72 unidades X 3,333.333 = 240 pulgadas 30 X 8 X 0,02325 = 5,58 metros


La anchura de la Habitación del Príncipe mide 5,58 metros.

 

Formato Valor de la pulgada La altura   Pulgadas por unidad   Altura en pulgadas Tamaño en metros
30 9/30 = 0,3 unidades 59,4 unidades X 3,333.333 = 198 pulgadas 30 X 6,6 X 0,02325 = 4,6035 metros


La altura
de la Habitación del Príncipe mide 4,6035 metros.


 

Unidades División de la pulgada en 15 partes Pulgadas Milímetros Medidas reales en pulgadas
1,125 15/15 1 23,25 3,75
1,05 14/15 0,933333333 21,7 3,5
0,975 13/15 0,866666666 20,15 3,25
0,9 12/15 0,8 18,6 3
0,825 11/15 0,733333333 17,05 2,75
0,75 10/15 0,666666666 15,5 2,5
0,675 9/15 0,6 13,95 2,25
0,6 8/15 0,533333333 12,4 2
0,525 7/15 0,466666666 10,85 1,75
0,45 6/15 0,4 9,3 1,5
0,375 5/15 0,333333333 7,75 1,25
0,3 4/15 0,266666666 6,2 1
0,225 3/15 0,2 4,65 0,75
0,15 2/15 0,133333333 3,1 0,5
0,075 1/15 0,066666666 1,55 0,25


Equivalencia entre las unidades, la pulgada dividida en 15 partes, el milímetro centesimal y el tamaño real de la pulgada en la pared del fondo.




 

DEMOSTRACIÓN


       
La escala de representación de la pared del fondo de Las Meninas es de: 1/3,75 = 0,266666666...

 

Hacer una demostración matemática no es tarea fácil, aunque, en el caso del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas, se puede comprobar, matemáticamente, que se cumple en cada propuesta con el sencillo procedimiento de dividir la pulgada en quince partes iguales expresadas en unidades, y, seguidamente, multiplicar estas fracciones por una constante geométrica aritmética de 3,333333333… pulgadas por unidad, que representa un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al menos no dentro del contexto o situación para el cual ha sido empleada.

 

Esa comprobación sólo será válida para los casos concretos que se comprueben.

 

Es decir; en todos los casos que hablemos del tamaño real de la pared del fondo de Las Meninas de Velázquez.

 

Nos serviremos de un ejemplo para explicar cómo funcionan estos números:


 

Unidades División de la pulgada en 15 partes Pulgadas Milímetros Medidas reales en pulgadas
1,125 15/15 1 23,25 3,75


 

   Tomemos, en la columna de las unidades, la cantidad de 1,125, ahora multipliquemos 1,125 unidades por 3,333333333… pulgadas por unidad, el resultado se reflejará en la columna denominada:


 

Medidas reales en pulgadas, cierto, la solución es la esperada; 3,75 pulgadas castellanas.

 

Añadimos:

 

0,3 unidades en la rejilla de medición equivalen en el mundo real de la pared del fondo a:

 

 0,3 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 1 pulgada = 23,25 milímetros.


Unidades sobre la rejilla de trabajo

Pulgadas sobre la pared del fondo

Milímetros en el sistema métrico

1,125

3,75

87,1875

1

3,333333333

77,5

0,3

1

23,25


Equivalencia entre las unidades en la rejilla de trabajo y la pulgada castellana aplicada al tamaño real de la pared del fondo


Unos números que se adaptan al cristalino del ojo en el acto espontáneo de mirar, y que, con científica sencillez, coinciden con la apertura del ángulo visual de Las Meninas.


 

   La pulgada fraccionada en quince partes también está en relación directa con cada una de las 12 partes, ó 12 líneas, en las que se divide la pulgada castellana, a través de las cantidades 4 y 5; números correspondientes al tamaño de un cateto y el de la hipotenusa de un triángulo rectángulo pitagórico.


 

División en quince partes la pulgada castellana
15 partes o fracciones 12 líneas
1/15 = 0,02325/15 = 0,00155 metros 1/12 = una línea = 0,02325/12 = 0,0019375 metros


 

Al rey de Egipto Meris se le atribuye la invención de la Geometría, y desde entonces vino la facultad del medir, que, poco a poco, creció en nuevas invenciones hasta los tiempos de Pitágoras, natural de la isla de Samos.

 

Cuentan que Pitágoras ideó las delineaciones, las formas, los intervalos, las distancias y las cantidades; entre las cuales halló la virtud de la potencia del triángulo rectángulo, con tanto contentamiento y satisfacción de haberle hallado, que se dice que en pago de la merced recibida ofreció a la diosa Minerva el sacrificio Hecatombe en el cual sacrificó cien vacas.

 

En la Edad Media la demostración de esta proposición otorgaba el preciado grado de Magister Matheseos - Maestro de Matemáticas, queriéndose dar a entender de que el Teorema de Pitágoras es la base de toda sólida formación Matemática y de la Geometría.




 

El compás


       
El compás es un instrumento que sirve para determinar la figura más perfecta de todas; el círculo.

A su vez, y desde la antigüedad, la primera letra griega alfa mayúscula A, por su diseño triangular, está asociada a la forma de un compás abierto.


El compás representa, por tanto, varias cuestiones emblemáticas universales:

  • La herramienta de la creación divina - Dios Arquitecto,

  • el útil de acotación del límite del espacio,

  • el símbolo de la Matemática, Geometría y Arquitectura

  • y, también, a la tercera de las tres Grandes Luces que ilumina toda logia masónica.


 

El preciso compás de proporción, construido por Marco Antonio Mazzoleni en 1606 siguiendo las instrucciones de Galileo Galilei, permite, sin tener conocimientos matemáticos, dividir una línea en las partes que se desee, reproducir un plano a diferentes escalas o extraer raíces cuadradas y cúbicas [6].

 

El precursor del compás de Galileo fue el compás de proporción de ocho puntas del matemático italiano Fabrizio Mordente, que, con dos brazos con punteros, permitía la solución de problemas en la medición de la circunferencia, área y ángulos de un círculo.

 

En 1567 Fabrizio Mordente publicó en Venecia, en una simple hoja impresa, el tratado e ilustraciones de su dispositivo [7].


 

Compás de proporción

   

Compás de reducción adaptado a Las Meninas

Compás de reducción de eje desplazable


 

Toda una joya en la época de Velázquez [8].

 

El compás de eje desplazable consiste en dos piezas calibradas, fijadas a un centro móvil, donde la medición se traduce a escalas entre 1:2 a 1:15.

 

Este compás de cuatro puntas se utiliza para reproducir dibujos a mayor o menor tamaño; en la práctica de la pintura facilita medir objetos reales o bocetos preparatorios para ser plasmados a su formato definitivo en la superficie del lienzo.

 

En principio aplicaremos el Teorema de Pitágoras [9], más el cálculo de las medidas de los lados de los triángulos semejantes de Euclides [10], para averiguar la razón geométrica entre el tamaño real de la Habitación del Príncipe y el de la distante pared representada en Las Meninas.

 

Escribe Vitrubio en el capítulo II del Libro Noveno de Los Diez Libros de Arquitectura [11]:

 

Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, (...).


La escuadra perfecta

 

   Si se toman tres reglas, una de tres pies, otra de cuatro y una tercera de cinco, y se las junta de modo que reunidos sus extremos de punta a punta formen un triángulo, se tendrá una escuadra perfecta.


Sea 60 el tamaño de la anchura de la Habitación del Príncipe, y 18 el valor de la anchura de la pared del fondo pintada en este óleo.


La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se evalúa cuántas veces contiene una a la otra.


Con estas medidas reseñadas obtendríamos la siguiente razón geométrica en un compás abierto de cuatro puntas:


 
Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
3 4 5
60/2 40 50


La escuadra perfecta pitagórica

 

  • La proporción: 60 / 18 = 3,333333333... incluye la escuadra perfecta de Pitágoras.


La razón geométrica 3,333333333... adaptada a un compás de eje desplazable, en el sistema de medidas castellano, operaría del siguiente modo:


LA GEOMETRÍA DE LA PROPORCIÓN

 

 

La pulgada en la rejilla de trabajo y su equivalencia sobre la pared del fondo.

 

 

PLANTEAMIENTO

  • El rectángulo de trabajo mide 64 X 128 líneas.

  • 1 pulgada se compone de 12 líneas de 0,09375 unidades = 1,125 unidades.

  • 3 pulgadas y 9/12 se compone de 40 líneas de 0,09375 unidades.

 

DEMOSTRACIÓN

  • La proporción: 40 / 12 = 3,333333333...

  • 3 pulgadas y 9/12  / 1,125 unidades  = 3,333333333...pulgadas por unidad.

 

Apertura en un rectángulo


El indicio de la existencia de una constante matemática da pie para determinar, ahora sí, el cálculo exacto del tamaño de la Habitación del Príncipe.




La escala de la pared del fondo


       
La distancia entre la vista y lo que se ve ha de ser proporcionada; ya que el tamaño de cualquier objeto o figura, aunque se localice muy distante, debe armonizar con la lejanía plasmada en el lienzo.

 

Y como indicó Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez:

 

Así la distancia ha de corresponder a la vista con cierta razón y proporción de ángulos.




Escala de la anchura de la sala donde se pintan Las Meninas.


El ancho del lienzo de Las Meninas mide la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y la escala de la distante pared pintada equivale a 1/3,75 de esta misma sala [12].



Zona izquierda 132 pulgadas Zona central 64 pulgadas Zona derecha 44 pulgadas
44 44 44 64 44

Total - 240 pulgadas

Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe




La escala y la perspectiva


       
La cuestión del tamaño de la pared del fondo está relacionada directamente con la perspectiva:



CÁLCULO DIRECTO DE LA ANCHURA DE LA SALA DONDE SE PINTAN LAS MENINAS.


  • 72 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 240 pulgadas.

  • 59,4 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 198 pulgadas.


Y, a su vez, la altura real de esta sala de palacio depende de la siguiente relación numérica:


44 pulgadas x 4 x 1,125 = 198 pulgadas.


Más allá de lo ya analizado, pondremos a prueba un Caso especial de medición en la distancia, y su relación matemática con la rejilla de trabajo.

 

Ya hemos observado que el ancho del lienzo de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y que la anchura real de esta misma sala está representada, proporcionalmente, en la pared del fondo de esta pintura.

 

Esta relación se descubre del siguiente modo; 120 pulgadas corresponden al tamaño original de la anchura de Las Meninas, y 64 pulgadas es lo que mide la anchura de la pared del fondo pintada en este lienzo:


64/120 = 8/15 = 0,533333333...



Unidades por pulgada División de la pulgada en 15 partes Escala de representación Milímetros Pulgadas
1,125 15/15 1 23,25 3,333333333 X 1,125 = 3,75
0,6 8/15 0,533333333 12,4 3,333333333 X 0,6 = 2


Equivalencias entre las unidades y la pulgada castellana en la lejana pared del fondo pintada en Las Meninas.



El coeficiente 0,533333333 prueba que la anchura del lienzo de Las Meninas corresponde a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe.



0,6 unidades por pulgada x 240 pulgadas = 144 unidades.

 

144 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 128 pulgadas.

 

Y 128 pulgadas = 64 pulgadas x 2; es decir el doble de la anchura en pulgadas de la pared pintada del fondo.



Y al mismo tiempo, el coeficiente de ampliación de 3,75 confirma que el Tamaño real de esta sala de 240 pulgadas de anchura está en relación directa con la distancia sugerida en la pared pintada del fondo de Las Meninas:

 

Tamaño real: 64 pulgadas x 3,75 = 240 pulgadas.



DEMOSTRACIÓN


Unidades en la pared del fondo División de la pulgada Escala de representación Tamaño real
0,3 unidades 4/15 0,266666666 3,333333333 X  0,3 =  1 pulgada



En cualquier caso, desde la antigüedad la relación entre el tamaño aparente y la distancia percibida de un objeto determinado del campo visual quedó formulada en la denominada Ley de Euclides, que dice así:

 

La distancia entre el objeto y el observador es inversamente proporcional al tamaño de dicho objeto.

 

El tamaño de un objeto disminuye en función a la distancia de forma inversamente proporcional, es decir; a doble de distancia a este mismo objeto le corresponde la mitad de su tamaño.


  • x = 18 representa el tamaño proporcional en unidades de la pared del fondo pintada en Las Meninas.

  • y = 60 representa el tamaño proporcional en pulgadas de la Habitación del Príncipe.

 

 

60 / 18 = 240 / 72 = 198 / 59,4  = 10 / 3 = 3,333333... pulgadas por unidad.

 

 

Esta proporción incluye la escuadra perfecta de Pitágoras.

 

Cateto menor

60/2

Cateto mayor

40

Hipotenusa

50

3 x 10 4 x 10 5 x 10


Ternas pitagóricas de la escuadra perfecta


Proporción: 10 / 3 = 3,333333... pulgadas por unidad.




 

Génesis de la Perspectiva


       
Y cierto es que el Pie Real mide 0,279 metros, y que la anchura de Las Meninas medía 2,79 metros, es decir, diez veces mayor; luego si la anchura de este lienzo fuera de 2,79 metros mediría 10 pies de ancho, que es igual a 120 pulgadas.

 

Una reciprocidad consistente en la que sólo intervienen números enteros.

 

En pintura, la mirada del pintor se propaga en las distancias, estudia las diferentes calidades de luz, en las penumbras y sombras, en las luces claras y oscuras, en las frías y calientes; de tal manera, que la superficie del lienzo funciona como un plano transparente, vertical al suelo, en la intersección con su modelo.



ESTUDIO DEL TAMAÑO DE LAS MENINAS

 

Escala 1:2


Pulgadas

Metros

Coeficiente

60

60 X 0,02325 = 1,395

7º y 1/2

120

15 X 8 X 0,02325 = 2,79

15º

138

138 X 0,02325 = 3,2085

17º y 1/4

140

140 X 0,02325 = 3,255

17º y 1/2

 

Calibración de la anchura y altura del lienzo de Las Meninas.


Ha tomado 350 años descubrir una fórmula explicita que explique gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y posibilite reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición.


 


Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas


Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400


Terna pitagórica


Formato Unidades La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros


Formato en el Horizonte de Las Meninas


DEMOSTRACIÓN

Luego la escala de representación de la pared del fondo será: 0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75.

 

Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.




 

El área geométrica de Las Meninas


        El conocimiento del sistema de medidas de la época de Velázquez facilita acceder a las habituales normas ópticas y geométricas de la profundidad espacial, pero también proporciona, a ciencia cierta,
el modelo e idea original del trazado de la Geometría de esta pintura, lo cual constituye, además, la recuperación del plano inicial de Las Meninas.

 

Esta comprometida empresa está basada en dos ideas complementarias que garantizan la legítima génesis geométrica de Las Meninas:


   
Cateto menor

ab

Cateto mayor

ac

Hipotenusa

cb

Altura

ad

1 √3 2 √3/2
2 2√3 4 √3
120 120√3 240 60√3


Terna pitagórica de la Proposición 47 de Euclides

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al describe el eje vertical del punto de fuga:

 

 

cb + ad = al = 2 + √3/2.


Tamaño del área geométrica de Las Meninas
en pulgadas castellanas


 

La Habitación del Príncipe mide 240 pulgadas de ancho, y el eje vertical al mide físicamente; 240 pulgadas + 60√3 pulgadas.

 

60√3 equivale geométricamente a; ab2 - bd2 = ad2.

 

Ahora sustituiremos estas letras por cifras; ab = 2 y bd = 1; luego ad = (4 - 1) = √3.




 

La vista obedece al número


        Luca Pacioli manifiesta en su tratado DE DIVINA PROPORTIONE que el saber tuvo su origen en el sentido de la vista; y de ahí que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta.

 

En el Renacimiento, y de acorde con la idea de que el hombre es la medida de todas las cosas, se aplicó la proporcionalidad del cuerpo humano a todo tipo de arte:

 

Un sistema antropométrico de medición consolidado en dedos, codos, palmos o pies.


 


Villa Maser - Autorretrato de Paolo Veronés.


 

En la Villa Barbaro, proyectada por Palladio, encontramos un ejemplo bien ilustrado de un cazador asomado a una puerta simulada, y autorretrato del pintor Paolo Veronés, fundido en el conjunto de la obra arquitectónica, a semejanza de la idea de Leonardo da Vinci, como también lo fue para Alberto Durero, en la que toda práctica pictórica debía sustentarse en la ciencia de la Matemática y Geometría.

 

En nuestro ejemplo, José Nieto, el Aposentador de la reina, será quien salvaguarde la proporción y el tamaño real de cada objeto en la distancia.

 

Señalaremos la idea más compleja; la puramente geométrica de esta Puerta de madera.


 


Acotación de la Puerta semiabierta de madera en unidades.

 

División de la altura de 30 unidades equivalente a 26 pulgadas y 10/15.

 

 

Estudio del tamaño real de la pared del fondo y su relación matemática con la rejilla de trabajo.

 

30 unidades / 0,075 unidades = 400 partes.


 

Unidades Fracción de la pulgada Pulgadas Milímetros en la rejilla de trabajo Tamaño real en la distancia
1,125 15/15 1 23,25 1,125 unidades  x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3 pulgadas y 9/12
0,075 1/15 0,066666666 1,55 0,075 unidades x 3,333333333 pulgadas por unidad = 3/12 de pulgada

 
Sistema medición en la rejilla de trabajo sobre la pared del fondo de Las Meninas.


La escala, ya sea de ampliación o disminución, es la relación entre el tamaño real de un objeto y su tamaño final en el dibujo.

 

Así, en este caso, una escala de 1/3,75 significa que en la distancia una pulgada en la pared del fondo de Las Meninas, y cuyo valor en la rejilla de trabajo es de 1,125 unidades, representa en el mundo real a 3,75 pulgadas.


 

Unidades Fracción de la pulgada Pulgadas Pulgadas reales en la distancia
2,1 1 pulgada y 13/15 1,866666666 7 pulgadas = 7
2,025 1 pulgada y 12/15 1,8 6 pulgadas 9/12 = 6,75
1,95 1 pulgada y 11/15 1,733333333 6 pulgadas 6/12 = 6,5
1,875 1 pulgada y 10/15 1,666666666 6 pulgadas 3/12 = 6,25
1,8 1 pulgada y 9/15 1,6 6 pulgadas = 6
1,725 1 pulgada y 8/15 1,533333333 5 pulgadas 9/12 = 5,75
1,65 1 pulgada y 7/15 1,466666666 5 pulgadas 6/12 = 5,5
1,575 1 pulgada y 6/15 1,4 5 pulgadas 3/12 = 5,25
1,5 1 pulgada y 5/15 1,333333333 5 pulgadas = 5
1,425 1 pulgada y 4/15 1,266666666 4 pulgadas 9/12 = 4,75
1,35 1 pulgada y 3/15 1,2 4 pulgadas 6/12 = 4,5
1,275 1 pulgada y 2/15 1,133333333 4 pulgadas 3/12 = 4,25
1,2 1 pulgada y 1/15 1,066666666 4 pulgadas = 4
1,125 1 pulgada = 15/15 1 3 pulgadas 9/12 = 3,75
1,05 14/15 de pulgada 0,933333333 3 pulgadas 6/12 = 3,5
0,975 13/15 de pulgada 0,866666666 3 pulgadas 3/12 = 3,25
0,9 12/15 de pulgada 0,8 3 pulgadas = 3


Tabla de medición de la Puerta de 22 cuarterones

Escala de la pared del fondo:

1/3,75


 

1125 unidades, que le corresponde el valor de 1000 pulgadas, es un número de Aquiles:

 

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125...

 

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2.

 

Expresado de otra manera:

 

1125 se descompone en estos dos factores: 32 X 53.

 

Si N es poderoso, y un número primo, p, divide a N, entonces p2 también divide a N.

 

Matemáticamente, pues, hemos acotado diecinueve alturas niveladas por el Horizonte de Las Meninas, y así rehacer el trazado de la Puerta de madera semiabierta de 22 cuarterones en el vano de la anchura de las dos jambas.

 

La perspectiva lineal, surgida de la observación, negaba los postulados geométricos aceptados en el siglo XV; sin embargo, cuando Velázquez pinta a Las Meninas ya existía la suficiente Matemática y Geometría que engranase del todo a los números analizados, y, no obstante, en la que toda práctica pictórica debía sustentarse.

 

Piero della Francesca es el único pintor del Renacimiento que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la Geometría.

 

A la muerte de Piero della Francesca sus investigaciones inspiró a notables autores de tratados de Geometría; en el libro DE DIVINA PROPORTIONE de Luca Pacioli, ilustrado por Leonardo da Vinci, los estudios de Piero, sobre los sólidos geométricos, están presentes.

 

En la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, este postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u Horizonte.


 


Localización del punto de fuga del lienzo de Las Meninas




 

LA GEOMETRÍA


        Algunos autores distinguen entre dos especies de perspectiva; la geométrica y la artística, pero en realidad hay una sola perspectiva, que es la exacta.

El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto.


   Eſta ciencia tiene mas loa que las otras tres, comprehendidas en el numero de Matematicas; porque auiendo grandes contiendas entre las ſestas de caſi todas las diſciplinas, todos los geometras en toda parte concuerdan en vno, ni jamas ſobre la facultad ſe halla entre ellos algun debate, porque aunque diſputan de los puntos, de las lineas, y de las ſuperficies, ſi ſe pueden diuidir o no; en lo demas concuerdan, ni difieren en dotrina o preceptos; antes ſe esfuerçan para exceder el vno al otro, con nueuas y mas ſutiles inuenciones.


 

Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615 [15].


 


 

Zona izquierda 132 pulgadas Zona central 64 pulgadas Zona derecha 44 pulgadas Incremento de 100 pulgadas Total en pulgadas Total en metros
44 44 44 64 44 100 340 7,905

 

Anchura de la sala donde se pintan Las Meninas más el incremento de 100 pulgadas hasta el punto de fuga de la Puerta de madera.




 

La altura y anchura real de la Puerta


        Ya hemos analizado los nueve niveles de cuarterones que fugan hacia a nuestra derecha; y también observado que las formantes diagonales de estos cuarterones no se agrupan en un único punto.

 

Velázquez hace uso de una perspectiva manipulable al alcance de la anchura de sus hombros.

 

Sin embargo, sí existe un punto de fuga auxiliar para la Puerta de cuarterones, siendo en verdad la anchura entre las jambas, de 16 pulgadas y 12/15, el patrón de medida hasta este infinito lejano.



Localización del punto de fuga de la Puerta semiabierta



sistema castellano
valor en unidades
cantidad
total en unidades
operación
total en metros
vara
40,5
4
162
4 X 0,837
3,348
pie
13,5
1
13,5
1 X 0,279
0,279
pulgada
1,125
4
4,5
4 X 0,02325
0,093



180 unidades

3,72 metros


Desglose de la distancia entre el punto de fuga X del lienzo de Las Meninas y el punto de fuga K de la Puerta de 22 cuarterones.


La distancia entre el punto de fuga principal del lienzo, coordenada del punto X; [18, -12], que se localiza debajo del brazo levantado en diagonal del Aposentador José Nieto, y el punto de fuga auxiliar K del cual tratamos de la Puerta de cuarterones, coordenada; [198, -12], es de 180 unidades.

 

180 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 160 pulgadas.

 

En el sistema métrico tendríamos:


160 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 3,72 metros.



Herramienta para el trazado de la perspectiva de la Puerta y los 22 cuarterones


 

LADO Unidades Altura sobre la rejilla de trabajo Tamaño real en la pared del fondo Valor de la Altura proporcionada
Izquierdo 27,75 24 pulgadas y 10/15 27,75 unidades X 3,333333333 = 92 pulgadas y 6/12 10
Derecho 24,975 22 pulgadas y 3/15 24,975 unidades X 3,333333333 = 83 pulgadas y 3/12 9


Acotación de los límites de la perspectiva de la Puerta


 

Como observamos en la ilustración, el espacio de trabajo mide:

No quisiéramos remarcar, específicamente, ninguna línea en particular, pero sí comentar que no es necesario un instrumento muy sofisticado para su elaboración; cualquier regla de madera graduada adecuadamente valdría para su construcción.


 

El ancho de las jambas es el módulo regulador de la distancia hasta este infinito lejano, y es usado como patrón de medida 10 veces.


 


 

El punto P y el punto j son dos acotaciones obligadas, y dan paso a la lectura de todas las alturas o ordenadas de los 22 cuarterones de la Puerta de madera en su disminución, o perspectiva.

 

P : [ X = 9 ; Y = 0 ]


 

j : [ X = 27,9 ; Y = 0 ]


Coordenadas superiores del cerco de la Puerta

 

Como hemos comentado 18,9 unidades es el ancho total de las jambas del cerco de la Puerta tal cual fue pintada, aunque si queremos traducir esta cantidad al sistema antiguo castellano sobre la rejilla de medición sólo habrá que dividir 18,9 unidades entre 1,125 unidades por pulgada.

 

Es decir; el resultado son 16,8 pulgadas = 16 pulgadas y 12/15.

 

Cantidad que equivale en el sistema métrico a:

 

16,8 pulgadas X 0,02325 metros por pulgada = 0,3906 metros.

 

 

18,9 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 62,999999999 pulgadas.

 

63 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 1,46475 metros.

 

 

30 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 99,999999999 pulgadas.

 

100 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 2,325 metros.

 

Y de igual modo nos aproximaremos a la estatura del Aposentador:

 

20,25 unidades X 3,333333333 pulgadas por unidad = 67 pulgadas y 6/12 = 1,569375 metros.



A la a
ltura de José Nieto le corresponde siete cabezas y media.


Proporción Unidades Pulgadas Castellanas Tamaño en metros Medidas castellanas
7 cabezas y media 20,25 20,25 / 1,125 = 18 18 X 0,02325 = 0,4185 36 / 2 = 18 = media vara


Estudio de la a
ltura del Aposentador en el lienzo de Las Meninas.


En este caso será la Vara Castellana la que relacione la Pintura, Geometría y Aritmética en Las Meninas.



pies
pulgadas
unidades
metros
Vara
3
36
40,5
0,837


Vara Castellana


Y comprobaremos que la media Vara Castellana de altura del Aposentador José Nieto, equivalente a 18 pulgadas, es también múltiplo de las 198 pulgadas de la altura real de la pared del fondo.


  unidades pulgadas metros medidas castellanas
Altura 222,75 198 4,6035 198 / 36 = 5 varas y media


Altura real de la pared del fondo según el método de medición castellano.


198 / 18 = 11, es decir; José Nieto se pinta, exactamente, 11 veces más pequeño que la altura real de esta pared.

 

En el fondo y en la forma hemos planteado una necesidad de la belleza; la Proporción, y una Aritmética, ciencia hermana de la racionalidad, como vehículo del conocimiento de lo real.

 

En ese caso, la exhaustiva explicación del engranaje de la Geometría de Las Meninas equivale a Las Meninas.

 










notas a pie de página










 

1 - Página 37 - Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.


2 - A finales del reinado de Felipe II, Juan de Herrera, el arquitecto del Escorial, será el promotor y primer director de la Academia Real Matemática; comenzando su andadura en dependencias de Palacio a partir de Octubre de 1583.

 

A  partir de 1612, la Academia ejercerá su labor didáctica en casa del Marqués de Leganés, hasta que es clausurada en 1630; fechas en las que aún Diego Velázquez tuvo ocasión de estudiar y practicar sus instrumentos antes de viajar por primera vez a Italia.

 

Don Diego de Messía, Marqués de Leganés, primo carnal del Conde Duque de Olivares, fue tanto el promotor de la conquista por lo exacto, como experto coleccionista de pintura.

 

Según se deduce del inventario de su Segundo mayorazgo, y de acorde a Mary Crawford Volk, en 1642 había en esta colección, al menos, cinco obras de Velázquez:

Paralelamente, en 1581 María de Austria, hija de Carlos V, al morir su esposo, el emperador Maximiliano, se retiraba a Madrid; y generosa benefactora de los jesuitas en Alemania, lo continuó siendo en la capital de España.

A la muerte de María el pequeño colegio, que la Compañía de Jesús había fundado en 1572, se le denominará Colegio Imperial.

 

Tras el fallecimiento de Juan Bautista Labaña en 1624, el último que quedaba de la fundación de la academia de Madrid, y que había sido profesor de matemáticas de un entonces joven príncipe Felipe, por real decreto, en el Colegio se crearán veintitrés cátedras en Enero de1625.

 

Las materias que impartiría el Colegio incluirían las lenguas clásicas, la historia, la filosofía natural, las matemáticas, las artes militares, políticas y económicas; para, así mismo,  interpretar las de Aristóteles, ajustando la razón de estado con la conciencia, religión y fe católica.

El rey se constituía como fundador y patrón de los Estudios Reales, función que había de pasar a sus sucesores.

 

A la postre, el Colegio Imperial, en Febrero de 1629, se haría cargo de la enseñanza de las Matemáticas en la Corte.


3 - En esta época, la aplicación de las Matemáticas toma vertientes muy diversas;

Sin embargo, era heroico el de algunos practicarla a principios del siglo XVII en el Reino de las Españas, ya que, tal y como afirma el valenciano Miguel Geronimo de Santa Cruz; quien contar no supiese no se le tenía como hombre.

 

Página 54. LIBRO DE ARITHMETICA ESPECULATIVA Y PRACTICA. EL DORADO CONTADOR de Miguel Geronimo de Santa Cruz. Impreso en Sevilla. 1601.


4 - Uno de los libros más antiguos que hemos estudiado sobre; Aritmética, Álgebra, Trigonometría y otros cálculos, es del año 1688, editado por el Colegio de la Compañía de Jesús de la ciudad de Cádiz.

En este libro se pone a prueba, didácticamente, la eficacia de los números; en los quebrados, en las proporciones..., y su aplicación práctica final trasladada a la Arquitectura Militar.

 

THESES MATHEMATICAS - Defendidas por: El Exmo. Señor Don Iñigo de la Cruz Manrique de Lara Remirez de Arellano Mendoza y Alvarado, Conde de Aguilar, Señor de los Cameros, Marqués de la Hinojoſa, Conde de Uillamor, Señor del Eſtado de Andaluz, y Mayalde, y de la Caſa de Carrillo en el Reyno de Nauarra, &c. - Cadiz - Año 1688 - XXII de Junio.


5 - La opinión del maestro de Velázquez nos merece el mejor ejemplo, y advierte:


   El modo de ver ſe haze mediante la luz, en forma de Piramide, formada de los rayos viſuales que proceden de la viſta, donde es la punta de la piramide, i por eſtos rayos los ſimulacros e imagines de las coſas viſibles ſe imprimen en la potencia viſiva. La coſa viſta cuya imagen ſe repreſenta, viene a ſer la baſa deſta piramide, i aſsi forçoſſamente a de ſer de cantidad ſenſible, reſpeto de la ſuperficie del ver. La diſtancia entre la viſta, i lo que ſe vè a de ſer proporcionada, i conveniente, porque ſiendo mui remota, o mui propincua, las coſas viſibles no pueden ſer comprehendidas de la viſta, ni repreſentadas en la pintura. I aſsi la diſtancia a de correſponder a la viſta, con cierta razon i proporción de Angulos; porque la grandeza de las coſas que vemos tanto parece mayor, o menor, cuanto de mayor, o menor angulo viene a ſer comprehendida de la viſta. I eſta grandeza de los angulos viſuales se altera mudandose la diſtancia, i ſe viene a variar el aſpecto. I por eſta cauſa ſe a de tener entera noticia de la figura i cantidad que tienen los cuerpos en ſu propia forma, para ſaber los que diminuyen, i ſe acortan a la viſta, por la diſtancia, i variedad de los angulos.


Página 284 - Libro Segundo. Arte de la Pintura su antigüedad y grandezas. Francisco Pacheco. Sevilla. 1649.


 

 

        El efecto visual de las distintas proporciones de la pared del fondo de Las Meninas parte de un punto, es decir; del punto de fuga, pero su trazado está basado en el Primer Teorema de Thales de Mileto.

Thales vivió hacia el año 600 a. de C. y es el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia, y al que habría que considerar como el abuelo de la Geometría.

 

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.

 

Primer teorema:

 

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.


 

Primera Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la anchura de 72 unidades de la pared del fondo.

 

Formato Unidades La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
La anchura de la Habitación del Príncipe mide 5,58 metros.
30 9/30 = 0,3 72 unidades X 3,333.333 = 240 pulgadas 30 X 8 X 0,02325 = 5,58 metros
29 9/29 72 X 3,222.222 = 232 29 X 8 X 0,02325 = 5,394
28 9/28 72 X 3,111.111 = 224 28 X 8 X 0,02325 = 5,208
27 9/27 = 0,333.333 72 X 2,999.999 = 216 27 X 8 X 0,02325 = 5,022
26 9/26 72 X 2,888.888 = 208 26 X 8 X 0,02325 = 4,836
25 9/25 = 0,36 72 X 2,777.777 = 200 25 X 8 X 0,02325 = 4,65
24 9/24 = 0,375 72 X 2,666.666 = 192 24 X 8 X 0,02325 = 4,464
23 9/23 72 X 2,555.555 = 184 23 X 8 X 0,02325 = 4,278
22 9/22 72 X 2,444.444 = 176 22 X 8 X 0,02325 = 4,092
21 9/21 72 X 2,333.333 = 168 21 X 8 X 0,02325 = 3,906
20 9/20 = 0,45 72 X 2,222.222 = 160 20 X 8 X 0,02325 = 3,72
19 9/19 72 X 2,111.111 = 152 19 X 8 X 0,02325 = 3,534
18 9/18 = 0,5 72 X 1,999.999 = 144 18 X 8 X 0,02325 = 3,348
17 9/17 72 X 1,888.888 = 136 17 X 8 X 0,02325 = 3,162
16 9/16 = 0,5625 72 X 1,777.777 = 128 16 X 8 X 0,02325 = 2,976
15 9/15 = 0,6 72 X 1,666.666 = 120 15 X 8 X 0,02325 = 2,79
14 9/14 72 X 1,555.555 = 112 14 X 8 X 0,02325 = 2,604
13 9/13 72 X 1,444.444 = 104 13 X 8 X 0,02325 = 2,418
12 9/12 = 0,75 72 X 1,333.333 = 96 12 X 8 X 0,02325 = 2,232
11 9/11 72 X 1,222.222 = 88 11 X 8 X 0,02325 = 2,046
10 9/10 = 0,9 72 X 1,111.111 = 80 10 X 8 X 0,02325 = 1,86
9 9/9 = 1 72 X 0,999.999 = 72 9 X 8 X 0,02325 = 1,674
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros
La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros.
7 9/7 72 X 0,777.777 = 56 7 X 8 X 0,02325 = 1,302
6 9/6 = 1,5 72 X 0,666.666 = 48 6 X 8 X 0,02325 = 1,116
5 9/5 = 1,8 72 X 0,555.555 = 40 5 X 8 X 0,02325 = 0,93
4 9/4 = 2,25 72 X 0,444.444 = 32 4 X 8 X 0,02325 = 0,744
3 9/3 = 3 72 X 0,333.333 = 24 3 X 8 X 0,02325 = 0,558
2 9/2 = 4,5 72 X 0,222.222 = 16 2 X 8 X 0,02325 = 0,372
1 9/1 = 9 72 X 0,111.111 = 8 1 X 8 X 0,02325 = 0,186
0 9/0 = 0 72 X 0,000.000 = 0 0 X 8 X 0,02325 = 0


Tabla del formato de la anchura de la pared del fondo


 


Perspectiva tras la pared del fondo de Las Meninas


 

Segunda Tabla

 

Formatos en base al tamaño de la altura de 59,4 unidades de la pared del fondo.

 

Formato Unidades La altura   Pulgadas por unidad   Altura en Pulgadas Tamaño en metros
La altura de la Habitación del Príncipe mide 4,6035 metros.
30 9/30 = 0,3 59,4 unidades X 3,333.333 = 198 pulgadas 30 X 6,6 X 0,02325 = 4,6035 metros
29 9/29 59,4 X 3,222.222 = 191,4 29 X 6,6 X 0,02325 = 4,45005
28 9/28 59,4 X 3,111.111 = 184,8 28 X 6,6 X 0,02325 = 4,2966
27 9/27 = 0,333.333 59,4 X 2,999.999 = 178,2 27 X 6,6 X 0,02325 = 4,14315
26 9/26 59,4 X 2,888.888 = 171,6 26 X 6,6 X 0,02325 = 3,9897
25 9/25 = 0,36 59,4 X 2,777.777 = 165 25 X 6,6 X 0,02325 = 3,83625
24 9/24 = 0,375 59,4 X 2,666.666 = 158,4 24 X 6,6 X 0,02325 = 3,6828
23 9/23 59,4 X 2,555.555 = 151,8 23 X 6,6 X 0,02325 = 3,52935
22 9/22 59,4 X 2,444.444 = 145,2 22 X 6,6 X 0,02325 = 3,3759
21 9/21 59,4 X 2,333.333 = 138,6 21 X 6,6 X 0,02325 = 3,22245
20 9/20 = 0,45 59,4 X 2,222.222 = 132 20 X 6,6 X 0,02325 = 3,069
19 9/19 59,4 X 2,111.111 = 125,4 19 X 6,6 X 0,02325 = 2,91555
18 9/18 = 0,5 59,4 X 1,999.999 = 118,8 18 X 6,6 X 0,02325 = 2,7621
17 9/17 59,4 X 1,888.888 = 112,2 17 X 6,6 X 0,02325 = 2,60865
16 9/16 = 0,5625 59,4 X 1,777.777 = 105,6 16 X 6,6 X 0,02325 = 2,4552
15 9/15 = 0,6 59,4 X 1,666.666 = 99 15 X 6,6 X 0,02325 = 2,30175
14 9/14 59,4 X 1,555.555 = 92,4 14 X 6,6 X 0,02325 = 2,1483
13 9/13 59,4 X 1,444.444 = 85,8 13 X 6,6 X 0,02325 = 1,99485
12 9/12 = 0,75 59,4 X 1,333.333 = 79,2 12 X 6,6 X 0,02325 = 1,8414
11 9/11 59,4 X 1,222.222 = 72,6 11 X 6,6 X 0,02325 = 1,69795
10 9/10 = 0,9 59,4 X 1,111.111 = 66 10 X 6,6 X 0,02325 = 1,5345
9 9/9 = 1 59,4 X 0,999.999 = 59,4 9 X 6,6 X 0,02325 = 1,38105
8 9/8 = 1,125 unidades 59,4 unidades X 0,888.888 = 52,8 pulgadas 8 X 6,6 X 0,02325 = 1,2276 metros
La altura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,2276 metros.
7 9/7 59,4 X 0,777.777 = 46,2 7 X 6,6 X 0,02325 = 1,07415
6 9/6 = 1,5 59,4 X 0,666.666 = 39,6 6 X 6,6 X 0,02325 = 0,9207
5 9/5 = 1,8 59,4 X 0,555.555 = 33 5 X 6,6 X 0,02325 = 0,76725
4 9/4 = 2,25 59,4 X 0,444.444 = 26,4 4 X 6,6 X 0,02325 = 0,6138
3 9/3 = 3 59,4 X 0,333.333 = 19,8 3 X 6,6 X 0,02325 = 0,46035
2 9/2 = 4,5 59,4 X 0,222.222 = 13,2 2 X 6,6 X 0,02325 = 0,3065
1 9/1 = 9 59,4 X 0,111.111 = 6,6 1 X 6,6 X 0,02325 = 0,15345
0 9/0 = 0 59,4 X 0,000.000 = 0 0 X 6,6 X 0,02325 = 0


Tabla del formato de la altura de la pared del fondo


 

6 - LA OPERAZIONE DEL COMPASSO GEOMETRICO ET MILITARE DI GALILEO GALILEI. PADOVA, M.DC.XL.


7 - IL COMPASSO. Con Altri Istromenti Mathematici. Fabritio Mordente. Anversa. M. D. LXXXIIII.


8 - En el Inventario del 11 de Agosto de 1660 de los bienes de Velázquez se especifica, en el apartado 31- 32, dos compases de bronce.


Página 304 - Velázquez. Homenaje en el centenario de su muerte. Instituto Diego Velázquez. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid, 1960.


9 - Página 95 - Tratado de Geometria Practica y Speculatiua. Iuan Perez de Moya. Alcala. M. D. LXX. III.

 

Escribe el español Iuan Perez de Moya:

 

 

        De otro modo podras prouar ſi es vna eſquadra perfecta. Abre el compas en vna quantidad conueniente, y contando en el vn lado, ò linea de la eſquadra (començando del punto a.) tres tamaños ſemejantes à la diſtancia de la abertura del compas, como en la linea a. c. de la ſiguiente figura denotan las letras d. e. f.

 

Luego toma en el otro lado, ò linea a. b. quatro tamaños ſemejantes à eſtos como denota g. h. i. k. Saca agora vna linea recta deſde el punto f. haſta el punto k. y ſi eſta linea tuuiere cinco tamaños ſemejantes a los tres que tomaſte en el lado a. c. ò a los quatro del lado a. b. la tal eſquadra ſera verdadera, y ſi ay menos, o mas tamaños de cinco eſtara falſa, como ſe prueua por la penultima del primero de Euclides. Porque ſi el angulo a. es recto, el quadrado de la linea a. f. y a. k. ha de ſer ygual al quadrado de la linea f. k. que es lado opueſto al dicho angulo recto, pues ſi el lado a. f. tiene tres tamaños, y en el a. k. tiene quatro, la ſumma de los quadrados deſtos numeros 3. y 4. es 25. Luego el otro lado f. k. es neceſſario que tenga cinco tamaños, para que ſu quadrado haga veynte y cinco, que es lo que haze la ſumma de los quadrados de los otros lados que comprehenden el angulo recto. Ha ſe dicho eſto aquí porque como con eſte inſtrumento ſe ha de moſtrar medir diſtancias, es bien ſaberle hazer.


10 - Libro I - Theorema. 2. - Propoſition. 5.

 

Los angulos de los triángulos yſoſceles que eſtan ſobre la baſis ſon entreſi yguales. Y eſtendidas las lineas rectas yguales, ſeran tambien yguales entreſi los angulos que eſtan debajo de la baſis.


 

Sea el triangulo yſoſceles .ABC. que tenga el lado .AB ygual al lado .AC. y eſtiendanſe derechamente (por la ſecunda peticion) las lineas .BD. .CE a las lineas .AB. .AC. digo que el angulo .ABC. es ygual al ACB. y el angulo .CBD. al angulo .BCE. Tomeſe en la linea .BD. vn punto a caſo y ſea .Z. y corteſe de la linea .AE. mayor (por la tercera propoſicion) vna ygual a la .AZ. menor y ſea .AI. y juntenſe .ZC. y .IB. y porque .AZ. a la .AI. y .AB. a la .AC. ſon yguales, luego las dos .ZA. .AC. ſon yguales a las dos .IA. .AB. la vſna a la otra, y cierran el angulo comun que es contenido debajo de .ZAI. luego la baſis .ZC. es (por la .4. propoſicion) ygual a la baſis .IB. y el triangulo .AZC. ſera ygual al triangulo .AIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran yguales, debajo de los quales ſe eſtienden yguales lados, eſto es el angulo .ACZ. al angulo .ABI. y el angulo AZC. al angulo AIB. y porque toda la .AZ es ygual a toda la .AI de las quales la linea .AB. es ygual a la linea .AC luego la que reſta .BZ. es ygual (por la .3. comun ſentencia) a la .CI. que reſta. Y eſta demoſtrado que .ZC es ygual a la misma .BI. luego las dos .BZ. ZC. ſon yguales a las dos .CI .IB. la vna a la otra, y el angulo .BZC. es ygual al angulo .CIB. (por la .4. propoſicion) y la .BC. es baſis comun, luego el triangulo .BZC ſera ygual al triangulo .CIB. y los demas angulos a los demas angulos el vno al otro ſeran tambien yguales debaxo de los quales ſe eſtienden yguales lados (por la misma) luego el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y el angulo .BCZ. al angulo .CBI. ſon yguales. Pues porque todo el angulo .ABI. como eſta demoſtrado es ygual a todo el angulo .ACZ. de los quales .CBI. es ygual al angulo .BCZ luego el angulo .ABC. que reſta es ygual (por la .3. comun ſentencia) al angulo reſtante .ACB. y ſon ſobre la baſis del triangulo .ABC. pero eſta demoſtrado, que el angulo .ZBC. es ygual al angulo .ICB. y eſta debaxo de la baſis. Luego de los triangulos yſoſceles los angulos que eſtan ſobre la baſis ſon yguales entre ſi, y eſtentidas las lineas rectas yguales ſeran tambien yguales entre ſi los angulos que eſtan debaxo de la baſis lo qual ſe auia de demoſtrar.


Demostración


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.


11 - Página 349 - I DIECI LIBRI DELL´ARCHITETTURA DI M. VITRVVIO. Tradotti & commentati da Monſ. Daniel Barbaro eletto Patriarca d´Aquileia, da lui riueduti & amplati; & hora in piu commoda forma ridotti. In Venetia, MDLXVII.

 

Libro IX – Cap. II.

Della ſquadra inuentione di Pitagora per formare l´angulo giusto.

 

Pitagora ſimilmente dimoſtrò la ſquadra ritrouata ſenza opera di artefice alcuno, & fece chiato con quanto grande fatica i fabri facendola, a pena la poſſono al giuſto ridurre. Queſta coſta con ragioni, & uie emendata, da ſuoi precetti ſi manifeſta: perque ſe egli ſi prenderà tre regole, una di piedi tre, l´altra di quattro, la terza di cinque, & queſte regole compoſte ſiano, che con i capi ſi tocchino inſieme facendo una figura triangulare, condurranno la ſquadra giuſta.


12 - La escala es la relación proporcional entre la dimensión real de un objeto y las de este mismo objeto representado sobre un plano.


   Siempre que el Arquiteto quiere hazer vna traça, lo primero que haze antes que la comience, es hazer el pitipie: y porque aura muchos, que no ſepan que cosa es pitipie, pongo aqui ſu declaracion. El pitipie es nombre Frances, que peti en Frances quiere dezir pequeño, ò chico, y aſsi es lo meſmo dezir en nuestra lengua Caſtellana pequeño pie, como en Frances pitipie, y por eſto ſe entendera, que eſte pequeño pie es ſemejança del pie grande, aduirtiendo que tres pies de los grandes, ſon una vara Caſtellana, y quando ſe mide las fabricas ſe entiende yr medidas debaxo de que tres pies hazen la dicha vara, y con eſta proporcion ſe hace el pitipie, el qual ſirve para hazer las traças y modelos, y va hecho con proporcion del tamaño que ha de tener la fabrica grande, porque aunque ſea la traça no mayor que vn real de à ocho, como vaya repartida con ſu pitipie, ſe entendera por ella la grandeza que ha de tener, pueſta en execucion: porque ſe conſideran aquellas pequeñas medidas reſpeto de las grandes hechas con el gran pie, y aſsi meſmo à este pitipie le llaman muchos eſcala.


Página 36 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598.


13 - Se atribuyen a Tales de Mileto varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides:

 

 

Libro III - Theorema. 27. - Propoſition. 31.


   En el circulo, el angulo que eſta en el medio circulo es recto, y el que eſta en el ſegmento mayor, es menor que recto, y el que en el menor ſegmento, es mayor que recto. Y de mas de eſto el angulo del mayor ſegmento es mayor que recto; y el angulo del menor ſegmento es menor que recto.


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.


14 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

 

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.


 

Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD. porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar.


Demostración


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.


15 - Página 86 - DISCVRSO XCIIII. DE LOS ARQUITECTOS EN vniverſal, Fortificadores de Fuerças, y maeſtros de maquinas, o Ingenieros. Plaza Vniuersal de todas Ciencias y Artes - Christoval Suarez de Figueroa - Madrid. 1615.




 

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