[ resolución gráfica 1280 X 1024 ]

 


La Divina Proporción en Las Meninas


       
Las Meninas están pensadas de acuerdo con la estética y leyes de óptica geométrica conocidas en el siglo XVII, si bien, y a pesar de los siglos, su mensaje se conserva a buen recaudo dentro de su meditada construcción.

 

No obstante, Velázquez, además de haber pintado con un logrado naturalismo, propuso en su obra maestra la proporción divina que los antiguos llamaron áurea.

 

La toma de contacto con el cuadrado de 152 unidades de lado, que expresado en metros equivale a 3,141333... metros, nos ha dirigido hacia una seria propuesta.



Sistema de medidas

Anchura

 

Altura

 

Total de Coordenadas

metros

3,141333...

x

3,141333...

 

 

unidades

152

x

152

=

23.104


Coordenadas en la cuadrícula de
152 unidades



Esta cantidad en metros mencionada garantiza la altura necesaria que hace viable representar la Geometría áurea, y, a su vez, integrar sobre un mapa de coordenadas, de al menos de 23.104 posiciones posibles, a las diez esferas cabalistas en el transparente aire de la sala del Alcázar de Madrid representada en Las Meninas.

 

Según el Catálogo del Museo del Prado:

 

La medida actual de la altura de este lienzo es de 3,18 metros.




La Geometría del Límite de la rejilla de 152 unidades sitúa a las esferas cabalistas en su emplazamiento correcto


El pintor plantea todo un gran desafío de acuerdo a la lectura interior de esta pintura [1]:

Hablamos, por tanto, de una cualidad esencial de la Geometría, y de su relación con la posición de las diez esferas del Árbol Sagrado de la Kabala:

 

Una relación presente en Las Meninas representada desde puntos muy concretos.



LOS TRES ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA TEÓRICA DE LAS MENINAS

  • La Sección Áurea,

  • el Árbol de la Vida

  • y el Límite de la rejilla de 152 unidades.



El número áureo Phi equivale al vector
FG

 

Un número irracional simbolizado por la letra griega Φ en honor al escultor griego Fidias


Detalles de la ilustración:

 

Como hemos explicado, la Geometría cabalística de Las Meninas depende de una cuadrícula de 152 unidades de lado, y equivalente a 135 pulgadas y 1/9, con la que hemos asegurado las posiciones de estas 10 + 1 esferas en coordenadas de números enteros.


 

Numeración

Hebreo

Castellano

Planeta

Abscisas - X

Ordenadas - Y

I

Kether

Corona

0

62

II

Chokmah

Sabiduría

24

50

III

Binah

Inteligencia

Saturno

- 24

50

 Dahat

 Conocimiento

0

35,4

IV

 Chesed

Merced o Gracia

Júpiter

24

19

V

Geburah

Fortaleza

Marte

- 24

19

VI

Tipheret

Hermosura

Sol

0

9,5

VII

 Netzach

 Eternidad o Vitoria

Venus

24

- 12

VIII

 Hod

 Alabanza o Confisión

Mercurio

- 24

- 12

IX

Yesod

 Fundamento

Luna

0

- 9

X

 Malkut

 Reino

Tierra

0

- 38


SIGNIFICADOS


Coordenadas de las 10 Esferas + 1 del Árbol de la Vida de Las Meninas


En el misticismo judío Chokmah, que es la segunda Sefira del Árbol de la Vida, se la asocia con el lado derecho del cerebro, y, científicamente hablando, con el sitio desde donde fluye la intuición y la creatividad, cuya finalidad son los beneficios de la actividad artística.


 

Numeración

Hebreo

Castellano

Abscisa X

Ordenada Y

II

חכמה

Chokmah

Sabiduría

24

50

Coordenada de la Sefira nº 2 Chokmah



2    חכמה 

Chochma,

Sapientia,

Filius.

 

 

 

       Secundum veſtimentum ſeu Sephira dicitur חכמה Chochma, Sapientia, cuius nomen eſt יה Iah; attribuitur ſecundæ in diuinis emanationi, ſcilicet Filio, ſicuti præcedens Patri, & ſequens Spiritui ſancto; ab Orpheo dicitur Cœlum, ab Homero Pallas nata ex cerebro Iouis. Canalis dicitur, cuius ope Deus influit ſupra Cherubinos, & ſupra firmamentum, hoc eſt, ſtellarum fixarum globum, ope Intelligentiæ quam רציאל Ratſiel vocant, mundique idealis inenarrabiles ſplendores exhibet; de quibus in ſequentibus fuſius.


Definición de la Sefira número dos, Chokmah, por el jesuita Athanasius Kircher


 

Si la Sabiduría es el grado más alto del conocimiento, entonces, el Árbol Sagrado supondría el modelo idóneo del flujo descendente de la energía divina, y, simultáneamente, el ascenso hacia la primera causa creadora.




La reflexión


       
Una vez determinada la coordenada cartesiana del centro de la Sefira Chokmah, que representa el punto de encuentro entre Geometría y Kabala, se hace necesario avalar con buenas razones la importancia de la compleja trama invisible de Las Meninas:

 

No hay nada en estas Esferas que no presuma ser percepción, emoción o un legado sagrado.

 

Según Loeffler [2]; las cuatro enseñanzas superpuestas, que corresponden a la identificación de un símbolo, mito o leyenda, son:

 

  1. Un mensaje de orden histórico, concerniente a hechos y personajes reales, como soporte material para la enseñanza simbólica.

  2. Una enseñanza psicológica señalando la lucha del espíritu y la materia a nivel humano.

  3. Un aprendizaje relativo a la vida de nuestro planeta.

  4. Un saber relacionado con la constitución de la materia y el orden cósmico.

 

Sin duda, entendemos, pues, la obligación moral de compartir el trascendente mensaje de esta investigación, ya que debería ser considerado como una herencia común; aunque en este caso particular hablamos de Israel, cuyos emblemas perdieron su patria, y otros ensombrecieron su crédito celeste.

 

Llamémosle un caso extraordinario en el Arte de la Pintura, quizás único en su género, y de armonía plena.

 

Para estar a la altura de esta insólita circunstancia, y de acorde a cómo se ha decantado la razón intelectual de este óleo, hemos utilizado las inspiradoras letras y palabras de un antiguo libro cabalístico llamado El libro de la Creación o Sefer Yetzirah [3].

 

El cabalista se vale del Árbol Sefirótico para escrutar en los secretos de la omnisciencia del Arquitecto Supremo, y, si este don le fuera dado, sacar a la luz aquello que lo anima y lo hace ser real a los sentidos.

 

Velázquez acomete esta obra de arte con singular destreza, y experimenta, bajo la presencia del rey y de su mismo grupo social, con la ciencia de la Kabala.




Coordenadas del lienzo de Las Meninas


       
En 1637 Descartes publicaba los hallazgos de la Geometría Analítica usando un conjunto de ejes y coordenadas en un apéndice al Discurso del Método; esta nueva Geometría facilitaba representar las rectas, curvas y figuras geométricas mediante el valor numérico de las expresiones algebraicas [4].

 

Los diagramas y coordenadas cartesianas fueron a partir de René Descartes una de las herramientas más empleadas y útiles en el estudio de las matemáticas.




Centros geométricos de Las Meninas



Una vez dispuestos los útiles necesarios, consideraremos los distintos métodos de calcular la cantidad de puntos o coordenadas posibles sobre la superficie de Las Meninas en base al tamaño de sus medidas originales y, también, de acuerdo con las medidas actuales de esta misma pintura.

 

En las siguientes tablas mostramos los resultados aritméticos más viables de llevar a cabo por el pintor Diego Velázquez.



Sistema de medidas

Anchura

 

Altura

 

Coordenadas

metros

2,79

x

3,2085

=

8,951715

unidades

135

x

155,25

=

20.958,75

pulgadas

120

x

138

=

16.560

líneas

1.440

x

1.656

=

21384.640

puntos

17.280

x

19.872

=

3431388.160


Equivalencias de las medidas
originales del lienzo de Las Meninas



Aunque actualmente la imagen de Las Meninas mide gráficamente:


 

133,6250 unidades por 153,9375 unidades.



Sistema de medidas

Anchura

Altura

Coordenadas

metros

2,761583333

x

3,181375

=

8,785632...

unidades

133,6250

x

153,9375

=

20.569,8984375

pulgadas

118 y 7/9

x

136 y 10/12

=

16.252,759258...

líneas

1.425 y 4/12

x

1.642

=

21340.397 y 4/12

puntos

17.104

x

19.704

=

3371017.216


Equivalencias de las medidas actuales de Las Meninas



A partir de estas tablas de equivalencias se construye la rejilla de trabajo; no obstante, estamos hablando de la existencia de una abultada cantidad de coordenadas posibles y de una manera practica de medir la superficie de este lienzo.

 

Eso es; en la posibilidad de fragmentar la rejilla de trabajo en tantas partes como sea oportuno.

 

Hablamos, pues, de 3371017.216 puntos castellanos localizados sobre la superficie de Las Meninas.

 

Hemos operado con vectores de un grosor de una milésima de milímetro, 0,001 mm., y una certidumbre de una diezmilésima de unidad en los resultados que aportamos, es decir; de un margen de seguridad de 0,0001 de unidad.



 


Ajuste de la Cuadrícula de trabajo sobre la superficie de Las Meninas




 

Tamaño de las cuadrículas


       
Aunque el lienzo de Las Meninas no tenga formato cuadrado planteamos el concepto del cuadrado como Geometría inicial, y el consecuente estudio de su tamaño actual.

 

Mostraremos a continuación el tamaño del formato cuadrado del perímetro, o borde limítrofe del lienzo, a partir del orillo de su lateral derecho, antes de ser montado y clavado a su bastidor original.


 
unidades sistema castellano metros
155,25 138 pulgadas 3,2085


Borde del orillo del lino original


Tipos de cuadrículas sobre la superficie de Las Meninas:


Modelo

Acotación geométrica

Unidades

Pulgadas

Color del Punto

Abscisa  X

Ordenada  Y

A - 144

Línea de acotación

144 x 144

128 x 128

Amarillo

0

0

L - 150 Límite de la rejilla de 150 unidades 150 x 150 133 y 1/3 x 133 y 1/3
L - 152 Límite de la rejilla de 152 unidades 152 x 152 135 y 1/9 x 135 y 1/9
B - 155,25

Borde del orillo del lino original

155,25 x 155,25

138 x 138

Azul

0

0,375

 

Pared del Fondo

72 x 59,4

64 x 52 y 4/5

Blanco

0

- 0,3


Desglose del centro de Las Meninas

 

0,375 unidades = 7,75 mm.


Estas cuatro herramientas geométricas cuadradas están sometidas al mismo sistema de medidas y coordenadas; ya que mantenemos como centro fijo en la cuadrícula de trabajo el punto E:

 

[0, 0].

 

Este centro se localiza en la parte superior del marco del espejo.



Centro de coordenadas


Las coordenadas en unidades del centro del Marco de madera del Espejo, y del Cristal del Espejo:


X = 0,15 ; Y = - 9.


La sombra a lo largo del lateral izquierdo del Marco de madera del Espejo acrecienta su anchura, pero no altera la posición de la Sefira nº 9, Yesod, El Fundamento:


X = 0 ; Y = - 9.




 

El Árbol de la Vida


       
Sorprende, y es exacto, que el Límite de la rejilla de 152 unidades equivale a una cuadrícula de 8 x 8 subcuadrados de 19 unidades de lado cada uno:

 

        Hablamos, pues, de una gran cuadrícula constituida por 64 subcuadrados, que vienen a ser el mismo número de casillas que componen el tablero del juego del Ajedrez [5].

 

El llamado pavimento mosaico asociado al número 64 conlleva cualidades extraordinarias, y en la Biblia, se menciona, Éxodo 24:10,  cuando fue revelado a Moisés y a los Setenta Ancianos en el Monte Sinaí [6].

 

La congregación de Israel recibió el mandato directo de Dios para emplearlo como patrón original del diseño del Tabernáculo.

 

   Y vieron al Dios de Israel; y había debajo de sus pies como un embaldosado de zafiro, semejante al cielo cuando está sereno.

 

ויראו את אלהי ישׂראל ותחת רגליו כמעשׂה לבנת הספיר וכעצם השׁמים לטהר׃

 

Éxodo 24:10

 

El número sesenta y cuatro constituye, por tanto, el vestigio más importante del método cabalístico que Velázquez desarrolla, porque resuelve, al completo, el complejo vínculo entre las diez esferas del Árbol Sagrado, el sistema geométrico y el cálculo numérico.

 

Y es de reseñar que la anchura de la distante pared del fondo pintada en este óleo mide 1,488 metros, que equivalen a 64 pulgadas castellanas, en cuyo centro se yergue los poderes, fuerzas, y energías del Árbol Sagrado de la Vida.

 

Un requisito imperceptible que confirmaría el principio de Divinidad.

 

La cuadrícula de 152 unidades de lado evidencia la exactitud de esta resucitada propuesta geométrica, de manera que las esferas cabalísticas quedan ensartadas, firmemente por su centro, por los vectores diagonales que hemos delineado sobre Las Meninas.

 


Ahora las 10 esferas + 1 están en su sitio

 



La raíz cuadrada de 5 aparece en la fórmula del número áureo, y corresponde, geométricamente, a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente.




La hipotenusa raíz cuadrada de 5



Y como resultado del esfuerzo y de la buena planificación, mostramos, sin forzar en ningún momento a la Geometría de la cuadrícula de 152 unidades, los nombres y posiciones de las 10 + 1 esferas:



Numeración

Hebreo

Castellano

Planeta

Abscisas X

Ordenadas Y

I

כתר

Kether

Corona

0

62

II

חכמה

Chokmah

Sabiduría

24

50

III

בינה

Binah

Inteligencia

Saturno

- 24

50

דעת

 Dahat

 Conocimiento

0

35,4

IV

חסד

 Chesed

Merced o Gracia

Júpiter

24

19

V

גבורה

Geburah

Fortaleza

Marte

- 24

19

VI

תפארת

Tipheret

Hermosura

Sol

0

9,5

VII

נצח

 Netzach

 Eternidad o Vitoria

Venus

24

- 12

VIII

הוד

 Hod

 Alabanza o Confisión

Mercurio

- 24

- 12

IX

יסוד

Yesod

 Fundamento

Luna

0

- 9

X

מלכות

 Malkut

 Reino

Tierra

0

- 38


Nombres y significados según el sefardí Abraham Cohen Herrera [7]

 

Coordenadas de los diez Sefirot + Dahat en el lienzo de Las Meninas




 

El Tamaño de la Sefira


       
A estas esferas se las pueden medir físicamente a través de la división de la pared del fondo en doce partes iguales.

 

La pared del fondo pintada en Las Meninas mide 72 unidades, que corresponden a 72 unidades / 1,125 unidades por pulgada, que es igual a 64 pulgadas.


 

Sistema castellano

vara

pie

palmo

pulgada

línea

punto

milímetros

unidades

vara

1

3

4

36

432

5184

837

40,5

pie

 

1

4/3

12

144

1728

279

13,5

palmo

 

 

1

9

108

1296

209,25

10,125

pulgada

 

 

 

1

12

144

23,25

1,125

línea

 

 

 

 

1

12

1,9375

0,09375

punto

 

 

 

 

 

1

0,16145833

0,0078125


Equivalencias entre las medidas castellanas, el sistema métrico y las unidades

unidad pulgada milímetro


 

Luego el tamaño del radio de la esfera cabalista equivaldrá a la división de 64 pulgadas entre doce, que es igual a:

 

64 pulgadas / 12 = 5,333333333... pulgadas.

 

Por lo tanto, el diámetro de la Sefira medirá 5,333333333... pulgadas por 2, que es igual a 10,666666666 pulgadas.




Diámetro de la Sefira


Y 10,666666666 pulgadas por 1,125 unidades por pulgada, que es igual a 12 unidades, corresponden, por tanto, al diámetro de la Sefira en unidades.

 

En medidas castellanas 10,666666666 pulgadas corresponden a 1 palmo, que equivale a 9 pulgadas, más 1 pulgada y más 2/3 de pulgada.


 


Tamaño del diámetro de la Sefira cabalística


En el Árbol de la Vida, Hod, la octava Sefira, ejemplifica a la esfera soberana de la magia, y, por tanto, a la dinámica creatividad del planeta Mercurio.

 

La palabra Hold, הוד, en el idioma hebreo significa Majestad o Esplendor, y denota tanto Alabanza como Sumisión.

 

A partir de esta Esfera nº 8, el cabalista practicante manifiesta su fe absoluta en las cuestiones o cosas que quiere alcanzar en el plano material; estableciendo, de manera voluntaria, la alianza entre el mundo de los arquetipos, humanos y divinos, y la firmeza de su corazón.

 

Velázquez, dependiendo de sí mismo, reivindica su verdad atrincherado en el etéreo peso de su conciencia, y, de hecho, esclarecía con los pinceles la inequívoca respuesta de su propia confesión.


 

La cruceta de la Cruz de Santiago es el centro de la Sefira Hod - El Honor.

 

        Octauum veſtimentum Dei ſeu Sephirah eſt הוד Hod, id eſt, laus, honor, gloria. Nomen eius eſt אלהים צבאות Elohim Tſebaoth; attributa eius, myſterium columnæ, ac pedis ſiniſtri, hinc trahitur ſerpens antiquus, diſciplina Domini, Ramus Cherub Aharon, filij regis, molæ molentes. Eſt que Canalis, per quem Deus influit in Archangelos, & per Intelligentiam Michaelem in Cœlum Mercurij; Cauſa & origo animalium eſt.

 

Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.

En el corazón de Diego Velázquez


En este caso, observamos, sobre el corazón del pintor, la localización exacta del atributo cabalístico pertinente, y el anhelado sueño de la ambicionada nobleza aun no hecha realidad.

 

De esta manera se explica, de una vez por todas, al único responsable de haber pintado a la Cruz de Santiago con cualidad presagiada, que no casual, en su sitio.




La cuadrícula de 152 unidades


       
El tamaño de la cuadrícula de 152 unidades en medidas castellanas:

 

152 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 135 pulgadas y 1/9.

 

1,125 unidades representa la cantidad que equivale una pulgada castellana en la superficie del lienzo de Las Meninas.


 

Unidades División de la pulgada en 12 líneas Pulgadas Metros
1,125 12/12 1 0,02325
1,03125 11/12 0,916666666 0,0213125
0,9375 10/12 0,833333333 0,019375
0,84375 9/12 0,75 0,0174375
0,75 8/12 0,666666666 0,0155
0,65625 7/12 0,583333333 0,0135625
0,5625 6/12 0,5 0,011625
0,46875 5/12 0,416666666 0,0096875
0,375 4/12 0,333333333 0,00775
0,28125 3/12 0,25 0,0058125
0,1875 2/12 0,166666666 0,003875
0,09375 1/12 0,083333333 0,0019375


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el metro centesimal

 

El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros


 

El tamaño de la cuadrícula de 152 unidades en metros:

 

Primero hagamos la siguiente operación aritmética para estar al corriente del valor en metros de una pulgada castellana:

 

Un pie Real de 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros; este resultado equivale a una pulgada.

 

0,02325/9 = 0,002583333 metros, este resultado equivale a 1/9 de pulgada.

 

Ahora multiplicaremos y sumaremos adecuadamente:

 

Conclusión:

3,13875 metros + 0,002583333 metros = 3,141333333 metros.

 

Este resultado representa la altura de lienzo necesaria para acomodar la Geometría áurea sobre la superficie de Las Meninas.




 

La Cuadrícula del Marco del Espejo


       
En Matemáticas el número más pequeño con seis divisores es el 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

 

El número 12 y sus múltiplos son los únicos números que dividen exactamente en mitad, tercio, cuarto, dos tercios y tres cuartos a la anchura del Marco de madera del Espejo; de tal modo, que además de ser el objeto protagonista más importante de esta pintura, es en donde el pintor Velázquez propone la regia medida del Pie Real.



La anchura del Marco del Espejo mide 13,5 unidades


Factorización de 3 x 3 x 3 x 5 = 135.

 

Los divisores del número 135 son 8:

 

1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135.

 

135 ÷ 1,125 = 120; que es lo que mide en pulgadas el ancho original del lienzo de Las Meninas.

 

Factorización de 2 x 3 x 31 = 186.

 

Los divisores del número 186 son 8:

 

1, 2, 3, 6, 31, 62, 93, 186.

 

186 ÷ 8 = 23,25; que es la cantidad que equivale en milímetros una pulgada castellana.


LA ALTURA FUNDAMENTO LA ANCHURA
Metros Pulgadas Unidades   Cuadrícula Cuadrícula   Unidades Pulgadas Metros
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 18,6 x 1 13,5 x 1 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 9,3 x 2 4,5 x 3 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 6,2 x 3 2,7 x 5 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 3,1 x 6 1,5 x 9 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 0,6 x 31 0,9 x 15 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 0,3 x 62 0,5 x 27 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 0,2 x 93 0,3 x 45 = 13,5 12 0,279
0,3844 16 y 8/15 18,6 = 0,1 x 186 0,1 x 135 = 13,5 12 0,279


Cuadrículas de Trabajo del Marco de madera del Espejo


 

Marco del Espejo Metros Pulgadas Unidades   Unidades por pulgada   Tamaño real en pulgadas
Anchura 0,279 12 13,5 = 0,3 x 45
Altura 0,3844 16 y 8/15 18,6 = 0,3 x 62


Tamaño real del Marco de madera del Espejo




 

El Centro físico


       
Estudiaremos esta obra artística teniendo en cuenta dos argumentos bien previstos;

 

 

Las medidas vigentes del lienzo de Las Meninas no son las medidas exactas que utilizó el maestro Velázquez, por lo que utilizaremos un cuadrado de ayuda, cuyo centro se sitúa en la parte superior del marco del espejo, para analizar el formato original de este lienzo.

 

Este gran cuadrado de ayuda mide 155,25 unidades de lado, que equivalen en el sistema métrico a 3,2085 metros, mientras que en el castellano corresponden a 11 pies y medio, o sea 138 pulgadas, y se extiende hasta lo que hemos dado en llamar:


 

Borde del orillo del lino original.


 

Este nuevo planteamiento se basa en la disponibilidad de dividir entre dos 138 pulgadas, que es igual a 69 pulgadas, y, de este modo, deducir el punto medio de la pared del fondo de Las Meninas.

 

Aunque recordaríamos que la anchura actual del lienzo de Las Meninas es de 2,761583333 metros, que equivalen a 133,625 unidades; que corresponden a 118 pulgadas y 7/9 en medidas castellanas.

 

Hablamos, pues, de un gran cuadrado superpuesto al lienzo de Las Meninas que ha confirmado la posición exacta del verdadero borde del perímetro del lienzo original.


 

 

Primer plano del orillo de la tela original en el lateral derecho de Las Meninas


 

DESGLOSE DE LA ANCHURA DE LAS MENINAS

  • Desde el centro hasta el margen derecho es igual a 69 pulgadas = 77,625 unidades

  • Desde el centro hasta el margen izquierdo es igual a 49 pulgadas y 7/9 = 56 unidades


 

69 pulgadas + 49 pulgadas y 7/9 = 118 pulgadas y 7/9


 

Y concebida la anchura de esta pintura a partir de un perfecto cuadrado, se deduce que la altura del lienzo original de Las Meninas medía el doble del ancho de la distancia entre el centro del espejo y el borde del orillo del lino original en el canto derecho del moderno bastidor.


 

69 pulgadas X 2 = 138 pulgadas.


 

El punto E trata del centro de coordenadas, [0, 0], situado en la parte superior de la moldura del Espejo, mientras que el punto F es el Centro físico, y es, por tanto, el centro de Las Meninas tal cual las contemplamos en el Museo del Prado.




La ubicación áurea de la nariz de la Infanta Margarita



En la Geometría que analizamos la proporción áurea de los lados del rectángulo áureo es de 8/5 = 1,6.

 

Un rectángulo áureo de 27,875 x 17,421875 unidades.

 

La proporción áurea de estos rectángulos viene determinada por el cociente entre las medidas de sus lados:

 

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...


Sucesión de Fibonacci 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
  1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Aproximación a Phi 1 2 1,5 1,6666 1,6 1,625 1,6153 1,6190 1,6176 1,6181 1,6179




El Centro físico de Las Meninas


A medida que los rectángulos de la Sucesión de Fibonacci se van haciendo más grandes sus formas se van acercando al rectángulo áureo.

 

Esta sucesión de cocientes tiende a estabilizarse en un número próximo a 1,618.

 

Es decir; el valor del número áureo:


 


El valor del número áureo Phi


 

Y aunque el punto F es el Centro físico del lienzo de Las Meninas se le adivina en dos posiciones diferentes;

Oportunamente es pertinente resaltar este segundo caso, porque establece una relación segura con la Geometría áurea de ratio 1,6 para el valor de Phi.

 

Nos hallamos ante una evidencia que depende de la distancia entre la nariz del retrato de la Infanta Margarita, punto medio y eje de toda la superficie de Las Meninas, y su ojo izquierdo.


 
1º Caso 2º Caso
  • X = 10,6875 unidades

  • Y = 0,96875 unidades

  • X = 10,125 unidades

  • Y = 0,375 unidades


El punto F es el centro de la anchura compositiva de Las Meninas

 

  • 1º Caso - Sobre el ojo izquierdo de la Infanta Margarita en la anchura de 2,76158333 metros

  • 2º Caso - En la nariz de la Infanta en la anchura de 2,79 metros, que equivale a 120 pulgadas




 

Las tres partes del lienzo


        Las Meninas
se compone de la unión de tres franjas de lienzo cosidas; dos de ellas tienen el ancho de fabricación, y una tercera, más estrecha, completa la anchura total de la tela, si bien, habría que detallar oportunamente las características de este lienzo:


 

   Esta obra está forrada con el sistema tradicional de la gacha. El soporte original está formado por la unión de tres bandas de lienzo de lino, colocadas verticalmente, es decir, en el sentido de su fabricación; la central y la lateral derecha presentan todo el ancho de la tela, ya que se puede observar el orillo en el borde derecho que dobla sobre el bastidor.

 

La banda lateral izquierda es de menor tamaño y no se observa el orillo; tal vez fue cortada por Velázquez, para conseguir unas determinadas dimensiones en la composición... [8].


 

Las anchura de las dos bandas de tela de la derecha de este lienzo son del mismo tamaño.

 

 

        La investigadora Carmen Garrido Pérez propone en su libro: VELÁZQUEZ, TÉCNICA Y EVOLUCIÓN - MUSEO DEL PRADO, 1992, un ancho de lienzo para la realización de Las Meninas de aproximadamente 105 centímetros.

 

Esto viene a ser 45 pulgadas x 0,02325 metros la pulgada = 1,04625 metros.



Análisis de las distancias de las dos costuras verticales de Las Meninas


banda del lienzo izquierda

banda del lienzo central

banda del lienzo derecha

Total de la Anchura del lienzo actual

31 pulgadas y 4/9
43 pulgadas y 2/3
43 pulgadas y 2/3
118 pulgadas y 7/9

0,731083333 metros

1,01525 metros

1,01525 metros

2,761583333 metros


El ancho de Las Meninas mide 2,76 metros según el Catálogo del Museo del Prado.


banda del lienzo izquierda

banda del lienzo central

banda del lienzo derecha

Total de la Anchura del lienzo original

32 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

120 pulgadas

0,7595 metros

1,01525 metros

1,01525 metros

2,79 metros


El ancho de Las Meninas sin marco mide 120 pulgadas según el Inventario de 1734


Aunque es más probable que la anchura de estas tres piezas de lino en el telar midiesen respectivamente:

 

32 + 44 + 44 = 120 pulgadas.

 

Ante estas conclusiones podemos ya hablar de la cantidad exacta de lienzo que Velázquez dispuso para su labor, y asegurar, por tanto, el análisis físico de esta pintura.



 

unidades

pulgadas

metros

medidas castellanas

Anchura

135

120

2,79

120 pulgadas / 12 = 10 pies

Altura

155,25

138

3,2085

138 pulgadas / 12 = 11 pies y medio


Medidas del lienzo de Las Meninas según el método de medición castellano



Sin duda, 3,2085 metros era el tamaño de la altura del lienzo de Las Meninas antes de ser montado a su bastidor original.

 

La altura pictórica de 3,2085 metros la hemos considerado teniendo en cuenta dos factores:




 

La proporción


       
El tamaño del lienzo de Las Meninas, o cualquier retrato u objeto pintado en esta bella pintura, depende íntegramente de las proporciones regulares.

 

 

        Partimos de las medidas del lienzo que ya han sido consideradas en el apartado anterior.

 

Los tamaños de la anchura y altura del lienzo original de Las Meninas miden;

 


 

unidades

proporción

pulgadas

metros

medidas castellanas

Anchura

135

20

120

2,79

120 pulgadas / 12 = 10 pies

Altura

155,25

23

138

3,2085

138 pulgadas / 12 = 11 pies y medio


Medidas del lienzo de Las Meninas


Factorización de 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120.

 

Los divisores del número 120 son 16:

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

 

Factorización de 2 x 3 x 23 = 138.

 

Los divisores del número 138 son 8:

 

1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138.


LA ALTURA   LA ANCHURA
Metros Pulgadas Unidades   Cuadrícula Cuadrícula   Unidades Pulgadas Metros
3,2085 138 155,25 = 155,25 x 1 135 x 1 = 135 120 2,79
67,5 x 2 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 = 77,625 x 2 45 x 3 = 135 120 2,79
33,75 x 4 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  51,75 x 3  27 x 5 = 135 120 2,79
22,5 x 6 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  25,875 x 6  16,875 x 8 = 135 120 2,79
13,5 x 10 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  6,75 x 23 11,25 x 12 = 135 120 2,79
9 x 15 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  3,375 x 46  6,75 x 20 = 135 120 2,79
5,625 x 24 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  2,25 x 69 4,5 x 30 = 135 120 2,79
3,375 x 40 = 135 120 2,79
3,2085 138 155,25 =  1,125 x 138 2,25 x 60 = 135 120 2,79
1,125 x 120 = 135 120 2,79


Proporción entre la altura y anchura del lienzo de Las Meninas




El año de Las Meninas


       
Al mismo tiempo, siendo el año 1656 cuando fueron pintadas Las Meninas por Diego Velázquez en Madrid, eventualmente, la cifra de este año está relacionada de manera manifiesta con la misma cantidad de líneas castellanas que mide la altura de esta pintura.

 

 

Primero observemos los 24 divisores del número 1656:

 

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 23, 24, 36, 46, 69, 72, 92, 138, 184, 207, 276, 414, 552, 828, 1656.

 

Y ahora establezcamos y demos nombre a su valor cuantitativo:



Sistema castellano varas pies palmos pulgadas líneas puntos metros unidades
3 y 10/12 11 y 6/12 15 y 4/12 138 1656 19872 3,2085 155,25


Equivalencias del número 1656



Por consiguiente, obtendríamos 138 pulgadas dividiendo 1656 líneas castellanas entre 12, resultado que se haya relacionado, a medida del deseo, con la misma cantidad de pulgadas que las del verdadero tamaño de la altura inicial del lienzo que analizamos.

 

1656 ÷ 12 = 138.

 

Y de igual manera la anchura funciona con los mismos guarismos:

 

1656 ÷ 13,8 = 120.

 

El arquitecto Ramiro Moya en su análisis: El trazado regulador y la perspectiva en Las Meninas, obtuvo las siguientes medidas para este lienzo de Diego Velázquez [9]:


23K para la altura y 20K para la anchura, valiendo K ≈ 1/2 pie = 0,139 metros.



LA ALTURA - 11 pies y medio

LA ANCHURA - 10 pies

Metros Pulgadas Unidades   Cuadrícula Cuadrícula   Unidades Pulgadas Metros
3,2085 138 155,25 =  6,75 x 23  6,75 x 20 = 135 120 2,79


Tamaño original del lienzo de Las Meninas


Aunque el valor de K en nuestras operaciones matemáticas valga 0,1395 metros, que equivale a 6 pulgadas, estamos hablando de la mismas proporciones del lienzo de Las Meninas.

 

Y cierto es que el Pie Real mide 0,279 metros, y que la anchura de Las Meninas medía 2,79 metros, es decir, diez veces más; por fortuna una relación proporcional.

 

En definitiva, hemos establecido el punto de encuentro entre las distintas equivalencias geométricas, matemáticas y de aritmética castellana del tamaño de Las Meninas.




Paradigma liberal


       
En el Renacimiento el estudio de la Divina Proporción fue de máximo interés, y no sólo la hallamos en relación con la Matemática y obras de Arte, sino con la concepción del propio cuerpo humano.




El Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci & El Árbol de la Vida de la Kabala


La publicación en 1925 del inventario de la librería de Velázquez por Sánchez Cantón abrió la posibilidad de conocer los intereses literarios y científicos del pintor [10].

 

Las materias del quadrivium, o cuadrivio, representan al conjunto de las cuatro artes liberales de la antigua Grecia y del mundo medieval. Ciencias de un mismo patrón teórico que han permanecido lejos de su aplicación, y posterior desarrollo, en la metódica investigación de la obra de Velázquez [11].

 

En la Chronographia de Francisco Vicente de Tornamira, Pamplona, 1585, libro que se hallaba en la biblioteca de Velázquez, se describe a las siete artes liberales con todo lujo de detalles:

 

        De los antiguos Philoſophos dependieron las siete Artes que llamaron liberales, dignas de ſer deprendidas de la gente libre y noble; las quales ſon Grammatica, Logica, Rethorica, Muſica, Arithmetica, Geometria, y Aſtrologia. Las tres primeras van por tres diuerſos caminos a un meſmo fin, que es el conoſcimiento del razonar; porque la Grammatica ha coſideracion al bien o mal hablar. La Logica al verdadero o faſso. La Rhetorica, al polido o no polido; de manera que todas tres tratan del razonar. Las quatro poſtreras van tambien por quatro vias a un meſmo fin, que es el conoſcimiento de la cantidad. Porque la Arithmetica trata de la cantidad diſcreta, no contrayda de los numeros. La Muſica, de la cantidad diſscreta, contrayda aſon. La Geometria, de la cantidad continua, no contrayda a linea. La Aſtrologia, de la cantidad continua, contrayda a mouimiento; de ſuerte que todas quatro tratan de la cantidad.


El quadrivium comprendía: Aritmética, Geometría, Astronomía, o Astrología, y Música.


Y con la finalidad de explicar la compleja estructura áurea de Las Meninas indagaremos en el primer tratado en castellano de Fortificación, dedicado al rey Felipe III, escrito por el capitán e ingeniero Chriſtoual de Rojas, y publicado en Madrid en 1598:

 

Teorica y Practica de fortificacion.


AL PRINCIPE

 

nueſtro ſeñor don Felipe.

 

SEÑOR.

 

        Aviendo dado Dios à V. Alteza el mayor imperio del mundo, y todas las partes que ſon meneſter para merecerle, eſcuſado ſera tratar de lo que en la milicia (vna de las colunas en que ſe ſuſtentan las Monarchias) importa la fortificación: y tambien lo fuera tomar à mi cargo el eſcriuir eſta materia, ſi algun Eſpañol lo huuiera hecho; pero viendo que eſta nacion tiene mas cuydado de derribar las fuerças, y muros de los enemigos, que de enſeñar à fabricarlos (aunque no es lo vno contrario a lo otro) determinè abrirle camino, y poner en manos de V.A. eſte libro, para que viendole tan fauorecido, otros ingenios mas leuantados den perfecion à mi intento, ſacando à luz ſus talentos eſcondidos: en lo qual pienſo hazer à V.A. un gran ſeruicio: como quien deſcubre minas riquiſſimas, que aunque no puſo el deſcubridor el oro que dellas ſe ſaca, merece premio por auerle deſcubierto. Aſsi yo le eſpero por eſte libro, como inſtrumento que mouera los que le ſeguiran luego, de tan grandes ingenios, como V.A. tiene en ſu ſeruicio. Eſto es lo que ofrezco à V.A. con la humildad que ſe deue à ſu grandeza, y con la fidelidad y deſſeo, que en ocaſiones he derramado mi ſangre, y auenturado la vida por ſu Corona: en la qual, deſpues de los largos, y felizes dias del Rey nueſtro ſeñor, conſerue Dios a V.A. con aumento de Reynos, como la Chriſtiandad ha meneſter.

 

En Toledo à 8. de Iulio de 1596.

 

Chriſtoual de Rojas.


        Digo que ſe corte de tal manera la linea A.D. que el rectangulo de toda ella, y vna de ſus partes, ſea igual al quadrado, que ſe hiziere de la parte que reſta, que ſe hara por la 11. propoſicion del lib. 2. de Euclides, y como aqui parece en eſta figura, en que mueſtra que la linea A.D. ſe haga della vn quadrado, y luego el lado D.C. deſte quadrado ſe diuida en dos partes iguales en el punto E. y deſde alli ſe tirarà la linea E.A. y à la meſma diſtancia ſe dara la linea E.T. y de la frente de la T.D. ſe hara vn quadrado D.T.L.N. que es igual al rectangulo ſeñalado con la R. y todo el rectangulo mayor L.C. es igual al quadrado de A.D. hoc eſt D.G. de donde ſe ſigue, que la linea A.D: eſta cortada con eſtrema, y media razon, en el punto N. como ſe prueua por la proporcion 30. del lib. 6. de Euclides.


Página 27 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598




El punto de fuga áureo de Las Meninas


       
Para que se pueda afirmar que el número áureo está presente en el lienzo de Las Meninas las medidas deben tomarse desde puntos significativos; por lo que abordaremos el estudio de la posición exacta del punto de fuga áureo de este óleo adentrándonos en Los Elementos de Euclides:

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

        Dividir una recta AB en dos partes de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y por una de sus partes, ZCKI, sea equivalente al cuadrado de la otra parte, AB2.



1º Caso

 

Los Elementos de Euclides y Las Meninas

 

Análisis

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

Localización del punto de fuga de acuerdo al tamaño del Límite de la rejilla de 152 unidades.


Euclides construye esta Proposición 11 a partir del cuadrado ABCD;

De esta forma se obtiene el punto T, y así se completa el cuadrado TIZA.



 

El punto T divide el segmento AB en media y extrema razón, de lo que se deduce que AB / AT = AT / TB.

 

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, que lo definió en su libro de Los Elementos del siguiente modo [12]:

 

Libro VI - Definición 3

 

        Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total, AB, es a la parte mayor, AT, como la parte mayor, AT, es a la menor TB.



Los Elementos de Euclides y Las Meninas.

 

Análisis

 

Libro VI - Definición 3

 

Aquí se deduce que siendo AB = 152 unidades y AT = 94 unidades; luego el valor de TB sería de 58 unidades.

 

Es decir, la relación entre; AT = 94 unidades y TB = 58 unidades, se aproxima al valor del número de oro:

 

94/58 = 1,620689655... Φ.

 

 

Matemáticamente: TB = AT2 / AB = 942 / 152 = 8836 / 152 = 58,13157895 unidades.

 

La diferencia es de 58,13157895 - 58 = 0,13157895 unidades, aproximadamente 2/15 de pulgada.

 

Si 1,125 unidades equivalen a 23,25 mm. [13].

 

0,13157895 unidades equivaldrán a 2,7192983 mm.


Esto significa que la perpendicular que nace en el punto I, y que pasa por el punto T, y cruzando el punto de fuga X finaliza su recorrido en el punto K, está desplazada hacia la derecha, según estos cálculos matemáticos, 2,7192983 mm. [14].


El punto de fuga de Las Meninas se ubica en la coordenada del punto X: [18, -12].


La división perfecta, que los antiguos llamaron áurea, prueba el porqué de situar el punto de fuga X en relación a la figura de un cuadrado que mide 152 unidades de lado.




 

El Triángulo de Kepler


        El Libro II - Problema 1 - Proposición 11, de los Elementos de Euclides analizado en el apartado anterior, es el antecedente necesario de la substancial finalidad de Velázquez; aunque es perentorio subrayar, además, que debido al interés del pintor español por este tipo de Geometría, y, ante el vigor científico de esta época, el punto de fuga áureo de Las Meninas quedó establecido en la perpendicular de la altura del Triángulo de Kepler.

 

Con lo cual el maestro español proponía la visualización idónea del lienzo de Las Meninas gracias a la ayuda de la progresión áurea y geométrica del tamaño de los tres lados del Triángulo de Kepler, y de las áreas de los tres cuadrados que circunscriben su perímetro.


 

Las Meninas y El Triángulo de Kepler


 

Nicolás Copérnico [15], para su satisfacción, tenía razón ante un Tolomeo aún vigente entre los distinguidos profesores del siglo XVI, y, entre tanto, Johannes Kepler, matemático y astrónomo, sumándose a estas nuevas teorías planetarias, publicaba en el año 1596 el MYSTERII COSMOGRAPHICI donde expresaba, en estos términos, su admiración por la proporción áurea:

 

   Dos grandes tesoros tiene la Geometría; uno es el Teorema de Pitágoras, y, el otro, la división de un segmento en media y extrema razón:

 

Al primero lo podemos comparar a un montón de oro, y al segundo lo podemos llamar una piedra preciosa.

 

        Quo accedit & illud, atque hercle indicem digitum ad cauſam harum rerum occultiſisimam intendit, quod proximo capite habebimus: (17) duos nempe eſſe Geometriæ theſauros, vnum, ſubtenſæ in rectangulo rationem ad latera; alterum, lineam extrema & media ratione ſectam, quorum ex illo Cubi, Pyramidis & Octaedri conſtructio fluir, ex hoc verò conſtructio Dodecaedri & Icoſaedri.

 

Página - 41. CAPUT XII. Diuiſio Zodiaci, & aſpectus. MYSTERII COSMOGRAPHICI. M. Ioanne Keplero. TVBINGÆ. ANNO M. D. XCVI.

 

(17) Duos nempe esse Geometriae thesauros.

 

Duo Theoremata infinitae vtilitatis, eoque pretiosissima, sed magnum discrimen tamen est inter vtrumque. Nam prius, quod latera rectanguli possint tantum, quantum subtensa recto, hoc inquam recte comparaueris massae auri: alterum, de sectione proportionali, Gemmam dixeris. Ipsum enim per se quidem pulchrum est, at sine priori valet nihil: ipsum tamen promouet scientiam tunc vlterius, cum prius illud nos aliquatenus prouectos, iam destituit, scilicet ad demonstrationem et inuentionem lateris Decangularis, et cognatarum quantitatum.

 

IN CAPVT DVODECIMVM NOTAE AVCTORIS. Bearbeitet von Frankz Hammer. München. MCMLXIII.


 

1597 & 1543


 

Al año siguiente, 1597, Michael Mästlin, uno de los primeros en aceptar y enseñar el heliocentrismo copernicano, envía en una carta a su exalumno Kepler el cálculo exacto del número de oro Phi [16].

 

El Triángulo de Kepler combina cuatro conceptos claves de Geometría y Matemática;

El Triángulo de Kepler


 

La vertical que pasa por el  punto T, correspondiente a la medida 94 unidades, como hemos ya mostrado, también transita a través del punto de fuga X, y se halla ligeramente desplazada hacia la derecha, respecto al valor de Phi, 2,7192983 mm.

 

La cuadrícula Límite de la rejilla de 152 unidades sitúa a la Geometría áurea del lienzo de Las Meninas en su emplazamiento correcto.


 

Cuadrículas Valor - AB Valor - TB Valor - AT  AT / TB = Φ
Línea de acotación 144 54 90 90/54 = 1,666666666
Límite de la rejilla de 150 unidades 150 57 93 93/57 = 1,631578947
Límite de la rejilla de 152 unidades 152 58 94 94/58 = 1,620689655
Phi - Φ   1,618033988...
153 / 1,125 = 136 pulgadas 153 58,5 94,5 94,5/58,5 = 1,615384615
Borde del orillo del lino original 155,25 59,625 95,625 95,625/59,625 = 1,603773585


Tamaños de las cuadrículas de trabajo


 

Un Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos tres lados están formado, a su vez, por tres cuadrados cuyos lados y áreas se hallan en progresión geométrica de acuerdo con la proporción áurea.

 

Y puesta en práctica esta progresión geométrica en el Arte pictórico de Las Meninas tendríamos:


 

Progresión geométrica de Kepler

 

     Y aplicando el Teorema de Pitágoras obtendríamos la siguiente igualdad:

 


2º Caso

 

El Triángulo de Kepler y el lienzo de Las Meninas - [18]



En definitiva, el Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo con lados y áreas en progresión geométrica.

 

Escribe Michael Mästlin:

 

   Si ad E trianguli rectanguli ea ſit ſtructura, ut DF perpendicularis hypothenuſam AE in F ſecundum extreman & mediam rationem fecet (...)

 

Michael Mästlin se está refiriendo al Libro VI - Definición 3 de de los Elementos de Euclides:

 

   Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total, AE, es a la parte mayor, AF, como la parte mayor, AF, es a la menor, FE.




10 Esferas + 1 del Árbol de la Vida y e
l Triángulo de Kepler




 

Ejemplos de Phi


       
Tenemos bien presente que Las Meninas es un verdadero mapa cuya superficie está organizada a partir de un cánevas o cuadrícula, y no dudamos que Velázquez, al igual que los grandes matemáticos de la época del barroco, introdujo en esta pintura su ideal geométrico basado en sus propios descubrimientos.




3º Caso

 

Localización del punto de fuga áureo


Habría que resaltar, pues, que la Geometría áurea, que hemos investigado en el lienzo de Las Meninas, tiene la totalidad de sus puntos concebidos en un sólo plano con el objeto de identificar la posición de cada coordenada más fácilmente.

 

Una obra inolvidable, e inspiradora de otras muchas, que, como arte perfecto, junto a ella se medra con sólo mirarla.

 

Y de igual modo que la herramienta geométrica de la imagen anterior, el compás de proporción áurea de tres puntas determina de manera inmediata el valor de Phi sobre cualquier tipo de superficie en estudio.




Compás de Proporción Áurea y el valor Phi



En el mismo siglo que la Teología Católica censuraba en el Índice de libros prohibidos el saber científico, Velázquez escenificaba en Las Meninas, adicionalmente, el vínculo de La Geometría áurea y El Árbol de la Vida como parte trascendente de su expresión artística.




La Proporción Áurea y el Árbol de la Vida en Las Meninas


Estas distintas alturas graduadas entre 0, que es la marca de referencia base del suelo, y 1,1666...,  que supone la referencia en el borde superior del lienzo, completan la altura total de 140 pulgadas:

 

        Que corresponden 138 pulgadas al tamaño exacto de la altura de lienzo que Velázquez dispuso para su labor, y de dos pulgadas más en la parte inferior.

 

Y sin ciertas consideraciones se derrocharía tiempo y talento adentrarse en la Habitación del Príncipe; por lo que cualquier nueva lectura acerca de este óleo debería realizarse, en todos los casos, contando con la debida preparación.




La altura Phi: 1,61803... equivale a 194,1640... pulgadas castellanas


 

Las medidas del tamaño real de la Habitación del Príncipe tienen la siguiente relación:



Habitación del Príncipe Metros Pulgadas Unidades Valor geométrico Ratio
Altura 4,6035 198 222,75 1,65 0,825
Anchura 5,58 240 270 2


Ratio de la Habitación del Príncipe


 

Representando el valor 2 la máxima altura geométrica de la Habitación del Príncipe, que equivale a 240 pulgadas, entonces el valor geométrico 1,65 equivaldría a 198 pulgadas, cantidad que corresponde a la altura real de esta sala de Palacio.

 

Y añadiríamos; que para que la altura real de la Habitación del Príncipe perteneciera a la Sucesión de Fibonacci debería ajustarse a la altura geométrica de 1,625.

 

Es decir: 13/8 = 1,625.


 

Habitación del Príncipe Valor geométrico Pulgadas   Valor de la Pulgada   Metros Unidades
Altura 1,65 198 x 0,02325 metros = 4,6035 222,75
1,625 195 x = 4,53375 219.375


 

En la construcción de un cuadrado a partir de un círculo se demuestra que el lado del cuadrado y el radio del círculo se encuentran en relación áurea.

 

Sea l + √5 el lado del cuadrado, y 2 el radio del círculo; de lo que se deduce de la división de estas dos cantidades es el valor de Phi.


Phi: 1,61803...




El lado del cuadrado y el radio del círculo en proporción áurea


 

22 años antes de que se pintaran Las Meninas encontramos al final del Libro VI de Diofanto de Alejandría, de Les oeuvres mathematiques de Simon Stevin de Bruges editado en Leyden en 1634, un comentario acerca del valor del número Phi.

 

Albert Girard, 1599 - 1632, por tanto ya fallecido, dejó constancia en el libro de Simon Stevin una manera ingeniosa de plantear la proporción áurea.

 

Comenta el matemático francés acerca de la línea dividida en media y extrema razón:


 

; & pour exemple ſoit propoſe d´explicquer par des rationaux la raiſon des ſegmens de la ligne coupeé en la moyenne & extreme raiſon, ſoit faicte une progreſſion: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, &c. dont chaſque nombre ſoit egal aux deux precedens, alors deux nombres pris immediatement denotteront la meſme raiſon, come 5 á 8 ou 8 á 13 &c.& tant plus grands, tant plus pres, comme ces deux 59475986 & 96234155, tellement que 13, 13, 21 conſtituent aſſez preciſement un triangule Isoſceles ayant l´angle du pentagone;


 

El valor de Phi según Albert Girard sería: 96234155 / 59475986 = 1,618033789... Φ.




 

Phi y la unidad


 


 

[1/Φ] 0,618033988... + [1/Φ2] 0,381966011... = 1.


 


4º Caso

 

Localización del punto de fuga áureo en la rejilla de 152 unidades de lado



En esta fórmula 1/Φ2 equivale a la distancia entre el punto de fuga y el lateral derecho de la rejilla de 152 unidades.




 

La precisión geométrica


        La invención de la perspectiva se remonta al año 1416 cuando Filippo Brunelleschi fijó
en el punto de fuga la clave de la reducción matemática absoluta de las tres dimensiones del espacio descriptivo en un soporte bidimensional [19].




 

5º Caso

 

Nacimiento geométrico del punto de fuga áureo


 

La perspectiva interpreta la posición de cada detalle en la profundidad, tal y como aparece ante nuestra vista, siguiendo reglas geométricas consistentes.

 

Y de igual modo comprobamos que el espacio tridimensional de esta obra maestra depende del talante científico del pintor Diego Velázquez ubicando el punto de fuga X en la coordenada: [18, -12].




6º Caso

 

Localización de la altura del Horizonte de Las Meninas respecto al suelo de la Habitación del Príncipe


        El Horizonte de la escena de Las Meninas, como causa de la realidad perfecta pitagórica, da acceso directo al reino de la verdad, e iguala su altura a la cuarta parte de la anchura real de la Habitación del Príncipe.

 

Desde de la antigüedad se les ha atribuido un carácter estético especial a los objetos cuyas medidas cumplen con la proporción áurea, y, en el caso del óleo de Las Meninas, esta trascendencia áurea y simbólica, como ha sido probado, va acompañada de un legado sacro de primera magnitud.


 

El Baricentro

 

Iintersección de las tres medianas del gran triángulo.

 

El Baricentro se localiza en el Horizonte o nivel de ojos.


El descubrimiento de los números irracionales, y por tanto inconmensurables, por Hipaso de Metaponto causó una tremenda conmoción en la comunidad pitagórica, pues contradecía la máxima filosófica del gran matemático griego Pitágoras que llegó a basar toda su filosofía en la frase:

 

TODO ES NÚMERO.


 


7º Caso

 

Localización del punto de fuga del lienzo de Las Meninas


Este análisis confirma que la profundidad escalonada de los cinco planos laterales de la pared derecha de Las Meninas están convenientemente dispuestos de manera segura.


Intervalo

1

 

2

 

3

 

4

 

5

Unidades

2,75

 

3,5

 

5

 

8

 

14

Pulgadas

2 pulgadas y 4/9

 

3 pulgadas y 1/9

 

4 pulgadas y 4/9

 

7 pulgadas y 1/9

 

12 pulgadas y 4/9

Incremento

 

+ 0,75

 

+ 1,5

 

+ 3

 

+ 6

 

Progresión geométrica

 

0,75 X 20

 

0,75 X 21

 

0,75 X 22

 

0,75 X 23

 


Anchura de los cinco intervalos de la pared derecha


La leyenda afirma que Hipaso fue castigado a morir ahogado por introducir un elemento de desorden en un universo que los pitagóricos pretendían reducir a números naturales y proporciones.

 

El malogrado Hipaso de Metaponto descubrió que en la Geometría existen números que no pueden ser expresado como una fracción.

Posteriormente, Teodoro de Cirene, filósofo y matemático griego, probaría la irracionalidad de las raíces de los números enteros a base del método tradicional pitagórico.

 

La adecuación geométrica de Las Meninas, en la Habitación del Príncipe del antiguo Alcázar de Madrid, requirió también del uso del número irracional √3, que armoniza todas la medidas y coordenadas del plano inicial del lienzo [20]:



 Las Meninas y la proposición 47 de Euclides



     DEMOSTRACIÓN

  • por el punto de origen 0, correspondiente al vértice c, y a 60√3 pulgadas del vértice superior a, corre la paralela horizontal correspondiente al diámetro del semicírculo cb, y que, a su vez, pertenece al lado de la base, y también hipotenusa, del triángulo rectángulo cab de la Proposición 47 de Euclides.

  • por el enclave del punto de fuga transita la perpendicular al procedente del vértice a del ángulo recto del triángulo cab,

  • la Línea de tierra de Las Meninas se halla localizada en la altura media de este plano,

  • en el Horizonte se determina el tamaño de la anchura de la pared del fondo que equivale a 320 pulgadas / 5 = 64 pulgadas

  • y la escala definida por el tamaño de la pared pintada en el fondo de Las Meninas respecto al tamaño real de la Habitación del Príncipe:

     Luego la escala de representación de la pared del fondo será:

 

0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75 [21].


Configuración pitagórica de Las Menina
s


Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.



Lado del Triángulo Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
Medidas en pulgadas 80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400
Divisiones 60 x 4 partes 64 x 5 partes 100 x 4 partes


La Escuadra Perfecta


El nombre de terna pitagórica deriva del teorema de Pitágoras, y consiste en una secuencia ordenada de tres números enteros positivos; a, b y c, que cumplen con el siguiente requisito:

 

a² + b² = c².

 

Cateto menor

a

Cateto mayor

b

Hipotenusa

c

80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400


Terna pitagórica del plano de Las Meninas


Este plano, basado en el Teorema de Pitágoras, prueba gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y permite reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición:




 

La condición simbólica


        El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto, y prueba que la certera posición del punto de fuga áureo
X ha sido resuelta, en cada Caso, con un total grado de coherencia matemática; y, eso sí, hemos definido, finalmente, la posición del pintor ante su lienzo.

 

Velázquez aseguró el tamaño de la anchura de la pared del fondo pintada en esta pintura en base al valor 0,02325 metros por pulgada, para así igualar la realidad con lo representado en Las Meninas utilizando el siguiente procedimiento:


- FORMATO 8 -

 

Formato Valor de la pulgada La anchura   Pulgadas por unidad   Anchura en pulgadas Tamaño en metros
8 9/8 = 1,125 unidades 72 unidades X 0,888.888 = 64 pulgadas 8 X 8 X 0,02325 = 1,488 metros


La anchura de la pared del fondo pintada en el lienzo de Las Meninas mide 1,488 metros.

 

Unos números que se adaptan al cristalino del ojo en el acto espontáneo de mirar, y que, con cierta vocación científica, coinciden con el tamaño del ángulo visual de Las Meninas.



Detalle de la intersección de la Geometría con la superficie del lienzo


 

Este infinito áureo converge con la Geometría Sagrada, que como lenguaje simbólico no se limita al simple uso de figuras y formas, sino que es una ciencia concebida para trascender ante el ojo del espectador.

 

La Geometría Sagrada de Las Meninas ampara elementos pictóricos que poseen cierta vitalidad, y al igual que el pensamiento pitagórico estaba supeditado a las matemáticas y la mística, el dinamismo de los colores y las formas de cada detalle de esta pintura también hablan.

 

Las Meninas, como plasmación de pintura perfecta, encierra todo este verbo divino.

 

Si bien la Kabala podría ser considerada ayuda alevosa, sin embargo, en el ejemplo que mostramos, ha sido la única ciencia auxiliar en confirmar el linaje de ciertas pinceladas del pintor, lo cual da pie para pensar en la utilidad necesaria de esta nueva vía de investigación.

 

En la doctrina penal clásica se expone como ejemplo de alevosía el homicidio de Julio César a manos de Bruto, el cual sabía que la estrecha amistad entre ambos impediría que el dictador desconfiara de él, en paralelo a la relación del rey Felipe IV en manos de su pintor Diego Velázquez.

 

En el caso de Las Meninas nos encontramos, fortuitamente, con Moisés camuflado en la textura del pelo de la menina Isabel de Velasco, que, como auspiciado profeta, se sitúa en el árbol Sagrado de la Vida en la Sefira nº 7 - Nectzah - La Victoria.

 

        La menina Isabel de Velasco luce sin pestañear una mirada de aspecto venusiano; pero es, ciertamente, en la parte posterior de su cabeza donde su pelo se transforma en una cara o retrato de un ilustre personaje mirando hacia la luz principal procedente de la primera ventana:

 

Una insospechada textura de alto brillo y gran contraste.

 

Este vigoroso rostro está enraizado en su encanecido pelo, y, retratado de perfil, se opone a la citada mirada de la menina.


El patriarca Moisés

        Este nuevo personaje comparte con esta menina la posición de su oreja, tiene apariencia masculina, de tez morena y avanzada edad, poblada barba agrisada, de aspecto bíblico, mira hacia la luz que entra por la ventana de la derecha, tiene cara de suplicar y de estar en trance a la par, los toques de pintura blanca y oscura, además de ser texturados como pelos, tienen el añadido de ser componentes caligráficos hebraicos.

 


Los cabellos de la menina Isabel de Velasco & Carta XXX - Tarocchi. Maestro de la serie E. 1465

 

 

רֹאשׁוֹ, כֶּתֶם פָּז; קְוֻצּוֹתָיו, תַּלְתַּלִּים, שְׁחֹרוֹת, כָּעוֹרֵב׃

 

 

Su cabeza es un tesoro de oro fino, sus mechones le cuelgan, negros como el cuervo.

 

Cantar de los Cantares 5:11


 

Esta visión del profeta Moisés conmueve profundamente en la primera toma de contacto, y nos hace exaltar con ganas al pintor español:

 

Gracias, Diego Velázquez


 


Viſio Prophetæ


 

Conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino en la zona de estudio que analizamos, porque, ya que los antiguos cabalistas situaron en las esferas del Árbol de la Vida los patriarcas bíblicos según su naturaleza, Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó representado al pie de la columna derecha.

 

Entre tanto, y según Athanasius Kircher, leamos lo que se oculta tras la menina Isabel de Velasco, en la Sefira nº 7 Nectzah.

 

        Septimum veſtimentum Dei ſeu Sephirah dicitur נצח Netſah, id eſt, triumphus, victoria, ſeu æternitas, cui nomen יהוה צבאות Adonai Tſebaoth. Eius attributa ſunt, Crus, pes, columna dextera, rota magna, viſio Prophetæ. Canalis eſt, per quem Deus influit in Principatus, & per Intelligentiam Haniel in Cœlum Veneris. Plantarum cauſa & origo eſt.

 

Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.

 

La Sefira Nectzah representa la Victoria, la Eternidad, la visión de la profecía y al gobierno sobre las pasiones.

 










notas a pie de página










 

1 - Breve ayuda del desarrollo del valor del número áureo Phi - Φ.



Análisis matemático geométrico


2 - M. Loeffler, Le symbolisme des contes de Fées. París, 1949.


3 - El Sefer Yetzirah es el tratado más antiguo del mundo contemplativo hebreo.


 

Editio princeps del Sefer Yetzirah

 

ספר יצירה

 

Libro de la Creación

 

Mantua 1562 - Editado por Jacob ben Naphtali ha-Kohen de Gazolo


De acuerdo a Ithamar Gruenwald hay tres primeras versiones del Sefer Yetzirah o Libro de la Creación; una corta, otra larga de algo menos de 2500 palabras y la llamada versión Saadia con comentarios del temprano siglo X.

 

El Sefer Yetzirah, igual que el libro de la Torah, empieza por la misma letra; por la letra Bet.

 

Las dos primeras palabras del relato bíblico de la creación:

Berashit bara.

Estas dos letras Bet hacen alusión al misterio de la Creación cuya viva doctrina se desarrolla en el Sefer Yetzirah.

בראשׁית ברא


 

בשלשים ושתים נתיבות פליאות חכמה

חקק יה יהוה צבאות אלהי ישראל אלהים

חיים ומלך עולם אל שדי רחום וחנון רם ונשא שוכן

עד וקדוש שמו מרום וקדוש הוא וברא את עולמו

בשלשה ספרים בספר וספר וספור׃

1:1 / Con treinta y dos senderos prodigiosos de Sabiduría grabó Yah,

el Señor de los Ejércitos, el Dios de Israel, Elohym vivo,

Rey del mundo, el Shaddai Misericordioso y Clemente,

Elevado y Supremo,

que reside en la Eternidad y su nombre es Santo.

Y creó Su mundo con tres libros;

  • con texto - Sefer,

  • con número - Sefar,

  • y con comunicación - Sipur.

עשר ספירות בלי מה ועשרים ושתים אותיות יסוד

שלש מאות ושבע כפולות ושתים עשרה פשוטות׃

1:2 / Diez Sefirot en el vacío y veintidós letras de Fundamento:

Tres Madres, Siete Dobles y doce Simples.

עשר ספירות בלימה במספר עשר אצבעות חמש

כנגד חמש וברית יחיד מכוון באמצע במילת הלשון ובמילת

המעור׃

1:3 / Diez Sefirot en el vacío:

Ordenadas como el número de los diez dedos.

Cinco frente a cinco,

y la Alianza del Único orientada hacia el centro,

como la circuncisión de la lengua y la circuncisión del miembro.

עשר ספירות בלימה עשר ולא תשע עשר ולא

אחת עשרה הבן בחכמה וחכם בבינה בחון בהם וחקור מהם והעמד

דבר על בוריו והשב יוצר על מכונו׃

1:4 / Diez Sefirot en el vacío:

Diez y no nueve, diez y no once.

Entiende por la Sabiduría y penetra con Inteligencia.

Distingue con ellas y escruta desde ellas.

Haz que cada cosa se yerga sobre su evidencia

y haz que el Formador se siente sobre Su base.

עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף

עומק ראשית ועומק אחרית עומק טוב ועומק רע עומק רום ועומק

תחת עומק מזרח ועומק מערב עומק צפון ועומק דרום אדון יחיד

אל מלך נאמן מושל בכולם ממעון קדשו עד עדי עד׃

1:5 / Diez Sefirot en el vacío:

Su medida es diez que no tienen fin.

La profundidad del principio, la profundidad del fin,

la profundidad del bien, la profundidad del mal,

la profundidad de arriba, la profundidad de abajo,

la profundidad del este, la profundidad del oeste,

la profundidad del norte, la profundidad del sur.

El Maestro único.

Dios, Rey fiel,

domina sobre todas ellas desde su Santa Morada

hasta la Eternidad de las Eternidades.

עשר ספירות בלי מה צפייתן כמראה הבזק

ותכליתן אין להם קץ ודברו בהן ברצוא ושוב ולמאמרו כסופה

ירדופו ולפני כסאו הם משתחוים׃

1:6 / Diez Sefirot en el vacío:

Su percepción es como la aparición del relámpago,

su límite no tiene fin.

Su Verbo se encuentra en ellas,

realizando un rápido e incesante movimiento de ida y vuelta.

Y su palabra ellas persiguen como en un torbellino,

y ante su Trono le rinden alabanzas.

עשר ספירות בלימה נעוץ סופן בתחלתן ותחלתן

בסופן כשלהבת קשורה בגחלת שאדון יחיד ואין לו שני ולפני אחד

מה אתה סופר׃

1:7 / Diez Sefirot en el vacío:

Su fin penetra en su principio,

y su principio en su fin, como la llama ligada a la brasa.

Pues el Maestro es único y no hay quien le sea segundo,

y antes del Uno; ¿qué podrías tu contar?

עשר ספירות בלימה בלום פיך מלדבר ולבך

מלהרהר ואם רץ פיך לדבר ולבך להרהר שוב למקום שלכך נאמר

יחזקאל א') והחיות רצוא ושוב ועל דבר זה נכרת ברית׃)

1:8 / Diez Sefirot en el vacío:

Refrena tu boca de hablar, y tu corazón de meditar.

Y si tu corazón se precipitara regresa al lugar.

Por eso está escrito: Las Chayot corrían y retornaban.

Y sobre esto tuvo lugar una Alianza.


Sefer Yetzirah - Capítulo 1:1 - 1:8


 

La fecha de composición de este texto es causa de debate; la mayoría de los entendidos están de acuerdo en que fue escrito o compilado entre el siglo II y VI.

Sin embargo, Steven M. Wasserstrom ha señalado de una clara transición islámica en el siglo IX, aunque es del todo seguro que ejerció una gran influencia especulativa y mística durante el siglo X.

 

El comentario de Elliot R. Wolfson remarca:

 

        Propiamente hablando, este trabajo no debería ser definido como una simple composición, y más que nada porque es una composición elaborada a partir de distintas y legendarias literaturas, que han permanecido juntas y enraizadas a través de un complicado proceso de redacción, cuyas etapas no son discernibles.

 

La mayoría de la versiones del Sefer Yetzirah se componen de seis capítulos cortos de lacónicas declaraciones, similar al tono de los textos Hekhalot o de los tempranos del misticismo del Carro.

Para comprender la importancia de este texto habría que tener bien presente que la Kabala extrajo de su primer capítulo la palabra Sefirot y la noción del estado metafísico de la creación.

 

Sefer Yetzirah - El Libro de la Creación. Teoría y Práctica, razonado y explicado por Aryeh Kaplan. Editorial Mirach, S. L., 1994.

tulo en inglés: Sefer Yetzirah. The Book of Creation. Publicado por acuerdo con Samuel Weiser, Inc. 1990.


 

4 - Diagrama cartesiano

 

El plano se divide en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí, la horizontal y la vertical respectivamente.

Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas; cuya posición es la coordenada (0,0).

 

Las rectas se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero.

En la recta horizontal, llamada eje de abscisas o eje de las x, al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,..., y hacia la izquierda el -1, -2,... y así sucesivamente en ambas direcciones.

De forma análoga se procede con la recta vertical, llamada eje de ordenadas o eje de las y, al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia arriba el 1,2,...., y hacia abajo el -1,-2,... y así sucesivamente en ambas direcciones.

De modo que tenemos la situación del dibujo.



Así pues, cada punto del plano se localiza mediante dos números correspondientes a cada eje, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (,).

Dicho par de números se llaman coordenadas.

Y se obtienen, por ejemplo, de la siguiente manera:

 

El punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las “x”; una vez aquí, subimos paralelamente al eje de las “y”, hasta el lugar marcado en este eje con el 3.

De igual forma para el punto (-3,2), nos situamos en la marca -3 del eje “x” y subimos verticalmente hasta el 2 del eje “y”.


5 - El ajedrez siempre estuvo vinculado a la Geometría y Matemática, y por supuesto, a la Guerra.

Comenta Ruy López de Segura, a quien se le considera como el primer campeón de ajedrez registrado en Europa, que dedicó su libro a don García de Toledo, ayo y mayordomo mayor del Príncipe heredero don Carlos:

 

     Ser el iuevo del axedrez juego de ſciencia, è inuencion mathematica, conſta por muchas coſas. La primera, porque el eſta fundado ſobre dos artes liberales, couiene a ſaber, Geometria y Arithmetica: porque es notorio eſtar compueſto ſobre vn lado de ſuperficie quadrada y plana, y perficionado con numero de ocho, que es numero pleno, ſegun que es notorio a todos los que algo ſaben: el qual multiplicado en ſi meſmo cria vna multiplicacion, è numero de ſeſſenta y quatro.


Folio 1 - Libro de la Invencion Liberal y Arte del Juego del Axedrez. Ruylopez de Sigura. Alcala, 1561.

 

Con cierta certeza estaríamos ante una ceremonia de iniciación un tanto incierta, y todo sin percatarnos en absoluto; la contestación a este gran interrogante podría hallarse planteada en una ingeniosa jugada maestra del juego del Ajedrez en Las Meninas.

 

Las fichas son blancas o negras, la Reina en su color y mueven primero las blancas.


Torre La Guardadamas Marcela de Ulloa
Caballo Aposentador del Rey Diego Velázquez       
Alfil Menina María Agustina Sarmiento
Rey Rey Felipe IV de Austria
Reina Reina Mariana de Austria
Alfil Menina Isabel de Velasco
Caballo Aposentador de la Reina José Nieto
Torre El Guardadamas desconocido


La Retaguardia de la Infanta Margarita de Austria como heredera al trono español

 

Los otros dos personajes de la partida que faltarían por acomodar, en este tablero imaginario de Ajedrez, serían los famosos bufones: La bufona Maribárbola y el bufón Nicolás Pertusato, y, por supuesto, el perro situado en el primer plano.


6 - Página 22 - The Cross of the Magi. The true Mosaic Pavement of sixty four squares. Frank C. Higgins. New York. 1912.


7 - Abraham Cohen de Herrera, 1570 – 1635, también conocido por Alonso Núñez de Herrera o Abraham Irira, fue un hombre religioso, filósofo y cabalista.

Se sabe que era descendiente de familia de Marrano; pero nos es desconocido el lugar de su nacimiento, según su biógrafo Barbosa Machado estuvo en Lisboa, Portugal, otras fuentes apuntan a Italia, específicamente la Toscana, y el hijo del último rabino de la sinagoga de Córdoba lo sitúa en España.

Casado con Sara de Herrera en Ámsterdam en 1600; también se sabe que su tío se llamaba Juan de Marchena y que trabajó de factor para el Sultán de Marruecos Moulay Ahmed el Mansour.

Cuando se encontraba de negocios en Cádiz, España, Herrera fue capturado por los ingleses, y liberado más tarde gracias a la diplomacia entre el Sultán y la reina de Inglaterra Isabel I, para retornar a la comunidad judía de Ámsterdam.


8 - Boletín del Museo del Prado. Mayo-agosto 1984. La restauración de Las Meninas de Velázquez. Manuela B. Mena Marqués.


 

9 - Ramiro Moya: El trazado regulador y la perspectiva en Las Meninas.

 

REVISTA ARQUITECTURA.

 

ÓRGANO DEL COLEGIO OFICIAL DE ARQUITECTOS DE MADRID.

 

AÑO 3 NUM. 25 - ENERO 1961.

 

Trabajo completo en .pdf



El trazado regulador y la perspectiva en Las Meninas


 

10 - Sánchez Cantón, F.J. La librería de Velázquez. Homenaje a Menéndez Pidal, III. Madrid, 1925.


 

11 - El inventario de la librería de Velázquez constituye una manifestación elocuente de su particular gusto frente a lo que era común en su tiempo en la educación de un pintor.

En su biblioteca, de algo más de 150 volúmenes, encontramos, sobretodo, temas relacionados con la Aritmética, Geometría y Arquitectura.


 

·  415. - Antonio Buscon, De Architectura italiano.

·  417. - De fortificacion cat. Yomo Castrioro.

·  419. - Vitrubio de Arquitectura.

·  420. - Matemática de Aguilon.

·  421. - Galasso Matematica en dos tomos.

·  422. - Architectura de Vicencio Escamacio beneciano.

·  423. - Alberto Durero, Simetria italiano.

·  424. - Cataneo de Architectura italiano.

·  425. - Jeometria de Bitelono.

·  427. - Architectura de Leon Alberti.

·  428. - Sebastian Serlio, Architectura.

·  433. - Vitrubio, Architectura.

·  440. - Geometría práctica.

·  448. - Elementos de Euclides.

·  450. - Matemática de Pedro Cataneo.

·  461. - Perspectivas de Euclides.

·  462. - Perspectivas de Daniel Barvaro.

·  463. - Arismetica de Moya.

·  464. - Vitruvio de Architectura.

·  466. - Serguio, De Architectura.

·  467. - Numeros y medidas.

·  468. - Nicolao Tartalia en italiano.

·  469. - Vitruvio, Architectura en italiano.

·  470. - Juan Antonio Buscon, Architectura.

·  478. - André Palladio de Architectura.

·  480. - Algebra de Pedro Nuñez.

·  490. - Especularia, en italiano.

·  491. - Marco Aurelio Alemán. Arismetica.

·  493. - Céspedes de Geometría.

·  497. - División de superficies, italiano.

·  498. - Summa Astrológica.

·  503. - Perspectiva de Euclides.

·  507. - Aritmetica de Joseph Unicornio, italiano.

·  508. - Baptista Alberto, italiano.

·  511. - Euclides filósofo.

·  516. - Antonio Fineo, Aritmética.

·  519. - Materia de Architectura.

·  532. - Practica de perspectiva, italiano.

·  533. - Jacomo Barrocio de Architectura.

·  536. - Serlio de Architectura.

·  538. - Pedro Cataneo de Architectura.

·  545. - Sciencia Matematicas de Nejarense.

·  551. - Mobimiento de los planetas.

·  553. - Antonio Labaco, Architectura.

·  554. - Alberto Durero, Geometría.

·  556. - Architectura de Vitrubio, italiano.

·  558. - Leonardo de Vinci, de la pintura.

·  561. - Pedro Antonio Darca de Architectura.


 

   Los ejes fundamentales que sostienen la estructura temática de la biblioteca velazqueña son, como ha sido señalado, la geometría y perspectiva, la cosmografía y la arquitectura. Y por ello por el número de ejemplares de cada materia que podemos catalogar, pero también por la importancia cualitativa y el carácter enciclopédico con que se articulan todas estas disciplinas a partir de la ciencia del número, lo que manifiesta la organicidad de la concepción intelectual de nuestro pintor.

La relación de estas ciencias con el conjunto del quadrivium es directa y evidente. (...).

 

Página 23, Catálogo de Pedro Ruiz Pérez: De la Pintura y las Letras. La Biblioteca de Velázquez, editado por: E. P. G. Conserjería de Cultura. Junta de Andalucía. 1999.


 

12 - La obra de Euclides ha resistido el paso del tiempo, como ninguna otra científica a lo largo de más de 2300 años, y es casi seguro que la traducción de Rodrigo Zamorano fuera la que se usara en el aprendizaje pictórico de la escuela de Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez.

Rodrigo Zamorano, nace en Valladolid, 1542, y muere en Sevilla, 1620, se le considera uno de los mayores sabios y científico en la época de Felipe II.

Tradujo la primera edición en castellano de los Elementos de Euclides; la obra cumbre del lenguaje geométrico de toda la Matemática elemental griega: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra.

 

Libro VI - Definición 3

 

Dizeſe ſer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quando fuere que como ſe ha toda a la mayor parte, aſſi la mayor a la menor.

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

Diudir una linea de manera que el rectangulo de toda ella y vna de ſus partes ſea ygual a aquel quadrado que ſe haze de la parte que resta.

 

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.


13 - Ya hemos comentado que 1,125 unidades por pulgada equivale a 23,25 milímetros; y es, por tanto, el número que traduce matemática y geométricamente la pulgada castellana al sistema métrico.

 

Básicamente, este número nos pone en contacto directo con realidad, profundidad y exactitud con el engranaje geométrico de este lienzo.


 

   En la siguiente tabla se plasma el descubrimiento del valor de la pulgada castellana convertida a unidades; lo cual significa que nos hallamos ante la cuantía de 1,125 unidades por pulgada, o número roseta, que traduce las pulgadas castellanas en cualquier clase de sistema de medidas longitudinales, y que, con extrema exactitud, también nos pone en contacto con las dimensiones reales de Las Meninas.


 

Unidades División de la pulgada en 9 partes Pulgadas Milímetros
1,125 9/9 1 23,25
1 8/9 0,888888888 20,66666666
0,875 7/9 0,777777777 18,08333333
0,75 6/9 0,666666666 15,5
0,625 5/9 0,555555555 12,91666666
0,5 4/9 0,444444444 10,33333333
0,375 3/9 0,333333333 7,75
0,25 2/9 0,222222222 5,166666666
0,125 1/9 0,111111111 2,583333333


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el milímetro centesimal.


 

1,125 unidades por pulgada X 0,888.888 pulgadas por unidad = 1.


 


Detalle de la cuadrícula de trabajo

 

El Pie Real equivale a 13,5 unidades en la rejilla de trabajo.


 

        Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas.


 

14 - En la página 46, CAPITULO VIII, Luca Pacioli escribe, a finales del siglo XV, que estas partes irracionales así descritas en el arte se llaman residuos.

 

Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito de la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.

 

El tamaño del error de 2,7192983 mm. nos sitúa en el lugar del observador meticuloso, ya que hay varias ideas en juego en la concepción de este error:

  • Euclides es el autor de esta Proposición 11, lo cual la hace inalterable.

  • El segmento ITXK mide 94 unidades + 152 unidades = 246 unidades.

  • 246 unidades equivalen a 23,25 mm por pulgada x 246 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 5084 mm. = 5,084 metros.

  • El error de trazado sería una recta perpendicular de 2,7192983 milímetros de ancho por 5,084 metros de largo.

  • Nuestra opinión; el grosor de un simple carboncillo generaría un error aún mayor.


 

Cuadrículas Valor - AB Valor - TB Valor - AT  AT / TB = Φ
Línea de acotación 144 54 90 90/54 = 1,666666666
Límite de la rejilla de 150 unidades 150 57 93 93/57 = 1,631578947
Límite de la rejilla de 152 unidades 152 58 94 94/58 = 1,620689655 *
Phi - Φ   1,618033988...
153 / 1,125 = 136 pulgadas 153 58,5 94,5 94,5/58,5 = 1,615384615 **
Borde del orillo del lino original 155,25 59,625 95,625 95,625/59,625 = 1,603773585


Tamaños de las cuadrículas de trabajo


 

            *   - Desplazado respecto al punto de fuga hacia la derecha 2,7192983 mm.

            ** - Desplazado respecto al punto de fuga hacia la izquierda 2,735294093 mm.

 


El número áureo Phi - Φ equivale a
AT / TB



15 - La obra denominada: Movimiento de los planetas de Nicolás Copérnico se hallaba en la biblioteca personal de Velázquez; un libro proscrito por la ortodoxia católica, cuyo mensaje innovador corre en paralelo con el espíritu presente en la pintura del artista sevillano.

 

Nicolás Copérnico, 1473 - 1543, fue un astrónomo del Renacimiento que formuló la teoría heliocéntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de Samos.

El científico polaco pasó cerca de veinticinco años trabajando en el desarrollo de su modelo heliocéntrico del universo, y lo publicó en su libro De revolutionibus orbium coelestium, y en castellano Sobre las revoluciones de las esferas celestes, que resultó ser una  teoría demasiado revolucionaria para que fuera aceptada por los científicos de la época.

Copérnico es considerado el pionero de la astronomía moderna, además de ser una pieza clave a lo que se llamó la Revolución Científica.

En De revolutionibus orbium coelestium explica su teoría heliocéntrica, basado en la Geometría de Euclides, a partir de seis teoremas y un problema.

En el Libro I, Teorema I, demuestra, en base al diámetro de un círculo, las medidas de los lados del triángulo, tetrágono, cuadrado, hexágono, pentágono y decágono, a los que circunscribe dicho círculo, y desarrolla, quizás por vez primera en la historia de la Geometría, el valor del número áureo Phi.


Cálculo de la proporción áurea por Nicolás Copérnico

Theorema primum.

Dato circuli diametro, latera quoque trigoni, tetragoni, hexagoni, pentagoni, & decagoni dari, quæ idem circulus circumſcribit. Quoniam quæ ex centro, dimidia diametri æqualis eſt lateri hexagoni. Trianguli uero latus triplum, quadrati duplu m poteſt eo quod ab hexagoni latere ſit quadratum, prout apud Euclidem in elementis demonſtrata ſunt. Dantur ergo longitudine hexagoni latus partium 100000. tetragoni partium 141422. trigoni partium 173205. Sit autem latus hexagoni AB, quod per XI. ſecundi, ſive XXX. ſexti Euclidis, media & extrema ratione fecetur in C ſigno, & maius ſegmentum ſit CB, cui æqualis apponat BD. Erit igitur & tota ABD extrema & media ratione diſſecta, & minus ſegmentum appoſita, decagoni latus inſcripti circulo, cui AB fuerit hexagoni latus. quod ex quinta & nona XIII. Euclidis libri ſit manifeſtum. Ipsa uero BD dabitur hoc modo fecetur AB bifariam in E: Patet per tertiam eiuſdem libri Euclidis, quod EBD quintuplum poteſt eius quod ex EB. Sed EB datur longitudine partium 50000. a qua datur potentia quintuplum, & ipsa EBD longitudine partium 111803. quibus si 50000 auferantur ipſius EB, remanet BD partium 61803 latus decagoni quæſitum. Latus quoque pentagoni, quod poteſt hexagoni latus ſimul & decagoni datur partium 117557. Dato ergo circuli diametro, dantur latera trigoni, tetragoni, pentagoni, hexagoni, & decagoni eidem circulo inscriptibilium, quod erat demonstrandum.

 

Teorema Primero.

Dado el diámetro de un círculo, se dan también los lados del triángulo, cuadrado, hexágono, pentágono y decágono, a los que circunscribe dicho círculo. Puesto que la distancia desde el centro, el radio, la mitad del diámetro, es igual al lado del hexágono, el lado del triángulo al cuadrado es igual al triple del lado del hexágono al cuadrado, y el cuadrado del lado del tetrágono es igual al doble del lado del hexágono al cuadrado, según se demostró en los Elementos de Euclides. Luego se dan, el lado del hexágono en longitud de 100000 unidades, el del tetrágono de 141422 unidades (√2), y el del triángulo de 173205 unidades (√3). Sea. ahora, AB el lado del hexágono, que por el problema I del libro II o por el X del libro VI de Euclides, en media y extrema proporción se corta en el punto C, y sea el segmento mayor CB, igual al cual se le añade BD. En consecuencia, ABD completa estará dividida en extrema y media proporción: y el segmento menor, el añadido BD, el lado del decágono inscrito en el círculo, AB el lado del hexágono; lo cual se clarificó a partir del V y IX preceptos del libro XIII de Euclides. Pero BD se conocerá de este modo: córtese en dos partes AB en el punto E. Es patente por el III precepto del mismo libro de Euclides, que el cuadrado de EBD es igual al quíntuplo del cuadrado de EB. Pero EB se conoce con una longitud de 50000 unidades, a partir de ella se conoce el quíntuplo de su cuadrado, y EBD con una longitud de 111803 unidades (√5/2), de las cuales, si se restan 50000 que tiene EB, queda BD de 61803 (1/Φ), lado del decágono buscado.

También se conoce el lado del pentágono, el cuadrado del cual es igual a la suma de los cuadrados del lado del hexágono y del decágono, de 117557 unidades:

Luego, dado el diámetro del círculo, se conocen los lados del triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono y decágono inscritos en el mismo círculo. Que es lo que había que demostrar.


Página - 12. Libro I. Theorema I. De revolutionibus orbium coelestium, Libri VI. Nicolai Copernici Torinensis. Norimbergae. 1543.


16 - Página - 21. EPISTOLÆ. Ad Joannem Keplerum scriptæ. Epistola X. Michael Maestlinus - Joanni Keplero. Año 1597.


Problema

de triangulo

rectangulo,

cujus latera

in continua

proportione.

 

Fig. VIII.

 Tab. A.

       Tua propoſitio de triangulo rectangulo, cujus latera ſint in continua proportione, mihi vehementer placet, ejusque demonſtratio bona eſt. Numeros addo. Si ad E trianguli rectanguli ea ſit ſtructura, ut DF perpendicularis hypothenuſam AE in F ſecundum extreman & mediam rationem fecet, AE autem ſit decem partium erit AF, eique æqualis ED, √125 - 5 & EF 15 - √125. quadratum vero ED2, quod eſt 150 - √12500. ablatum ex quadrato AE2 100, relinquit quadratum AD2 √12500 - 50. cujus latus eſt AD. Igitur proportionalia ſunt:

Et hæc eſt vera proportio quæſita, quæ ſimili modo initium, ſicut hic à latere AE, ita etiam à latere AD vel ED habere poſſet. De hac cum Domino D. Magaro hactenus propter creba impedimenta conferre non potui, fiet tamen id prima quaque occaſione.



17 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

 

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.


 

Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar.


Demostración


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.


18 - El estudio de la localización del punto de fuga áureo podría ser analizado de manera diferente, veamos a continuación otra nuevas aportación.



Localización áurea del punto de fuga
sobre el Límite de la rejilla de 152 unidades.


19 - El gran invento geométrico de Brunelleschi fue divulgado por el arquitecto Alberti en su Tratado de la Pintura - 1436, y, casi cuarenta años después, Piero della Francesca, 1420-1492, sistematizó la perspectiva lineal en su libro: De Prospectiva pingendi - 1474.

 

De Prospectiva pingendi está considerada como una extensión del tratado de Alberti, aunque influenciada por la Óptica de Euclides y los Elementos, donde hace continuas referencias al escritor griego.

 

Tras la muerte de Piero della Francesca una buena parte de su trabajo escrito inspiró a notables autores de tratados de Geometría.

En el libro de Luca Pacioli De divina proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci, los estudios de Piero, sobre los sólidos geométricos, están presentes.

 

Piero della Francesca es el único pintor de su época que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la Geometría.

 

La perspectiva lineal, nacida de la observación, estaba en contradicción con los postulados geométricos admitidos en en el siglo XV.

En efecto; en la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, aquel postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u horizonte.

 

Aunque habría que añadir que la perspectiva de la pintura italiana, a diferencia del modelo flamenco basado en la observación directa de la realidad, se consolidó, finalmente, en la Geometría euclidiana.


20 - No obstante, nos hemos basado en dos ideas complementarias que responden a la génesis geométrica de Las Meninas:

  • Una la del Teorema de Tales de Mileto, que afirma que cualquier ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto,

  • y la otra compartida por dos ilustres geómetras; el Teorema de Pitágoras y la proposición 47 de Euclides.


 
Cateto menor

ab

Cateto mayor

ac

Hipotenusa

cb

1 √3 2
120 120√3 240


Terna pitagórica de la Proposición 47 de Euclides

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al describe el eje vertical del punto de fuga áureo X:

 

 

al = 2 + √3/2.


Tamaño del área geométrica de Las Meninas
en pulgadas castellanas


 

21 - El ancho de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y la escala de la distante pared pintada corresponde a 1/3,75 de esta misma sala.


 


Estudio de la escala de la anchura de la sala donde se pintan Las Meninas.

  • La anchura ideal de Las Meninas es de 120 pulgadas, que equivale a 2,79 metros.

  • Luego la anchura de esta sala será de 2,79 metros X 2 = 5,58 metros = 20 pies = 240 pulgadas.

  • La dimensión transversal de la distante pared pintada es de 1,488 metros = 64 pulgadas.

  • La relación entre el tamaño de como se pinta la pared del fondo y su tamaño real: 1,488/5,58 = 0,266666666...

  • Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666666...


Zona izquierda 132 pulgadas Zona central 64 pulgadas Zona derecha 44 pulgadas
44 44 44 64 44

Total - 240 pulgadas

Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe


Y, a su vez, la altura real de esta sala de palacio depende de la siguiente relación numérica:

 

44 pulgadas x 4 x 1,125 = 198 pulgadas.




 

La Reina Mariana

 

Aplicación del Pie Real

  El Árbol de la Vida

El Escudo de Armas

La Escalera

La Perspectiva

La Pared del fondo

El Espejo

 

La Herencia

 

La Sagrada Simbología

 

La Astrología

Buena medición

La Paleta del pintor

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La Perspectiva de la Puerta

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