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La Divina Proporción en Las Meninas


        La toma de contacto con el cuadrado de 152 unidades de lado, que expresado en metros equivale a 3,141333333 metros, nos ha dirigido hacia una seria reflexión.

 

Esta cantidad en metros mencionada garantiza la altura necesaria que hace posible representar la Geometría áurea, y, a su vez, integrar las esferas cabalistas en el transparente aire de la estancia representada en Las Meninas.

 

Según el Catálogo del Museo del Prado:

 

La medida actual de la altura de este lienzo es de 3,18 metros.

 

Diego Velázquez, si además de captar un logrado naturalismo quiso testimoniar un trabajo cabalístico en su óleo, entonces, nos deberíamos situar de buen grado ante una proporción divina consolidada por el número perfecto, que los antiguos llamaron áureo.

 

Las Meninas están pensadas de acuerdo a la estética y leyes geométricas establecidas en el siglo XVII, si bien, y a pesar de los siglos, su mensaje se conserva a buen recaudo dentro de su meditada construcción.




La Geometría del Límite de la rejilla de 152 unidades sitúa a las esferas cabalistas en su emplazamiento correcto.


El pintor propone todo un gran desafío de acuerdo a la lectura interior de esta pintura:

Hablamos de una cualidad esencial de la Geometría, y de su afinidad con la posición de las esferas del Árbol Sagrado de la Kabala:

 

Una relación presente en Las Meninas representada desde puntos muy concretos.



LOS TRES ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA TEÓRICA DE LAS MENINAS

  • La Sección Áurea,

  • el Árbol de la Vida

  • y el Límite de la rejilla de 152 unidades.



El número áureo Phi - Φ equivale al vector
FG.

 

Un número irracional simbolizado por la letra griega Φ en honor al escultor griego Fidias.


Detalles de la ilustración:


2    חכמה 

Chochma,

Sapientia,

Filius.

 

 

 

       Secundum veſtimentum ſeu Sephira dicitur חכמה Chochma, Sapientia, cuius nomen eſt יה Iah; attribuitur ſecundæ in diuinis emanationi, ſcilicet Filio, ſicuti præcedens Patri, & ſequens Spiritui ſancto; ab Orpheo dicitur Cœlum, ab Homero Pallas nata ex cerebro Iouis. Canalis dicitur, cuius ope Deus influit ſupra Cherubinos, & ſupra firmamentum, hoc eſt, ſtellarum fixarum globum, ope Intelligentiæ quam רציאל Ratſiel vocant, mundique idealis inenarrabiles ſplendores exhibet; de quibus in ſequentibus fuſius.


Definición de la Sefira número dos, Chochma, por el jesuita Athanasius Kircher




La reflexión


       
Una vez marcada la línea y punto concurrente entre Geometría y Kabala en el centro de la Sefira Chokmah, sería conveniente avalar con buenas razones la importancia de la compleja trama invisible de Las Meninas:

 

No hay nada en estas Esferas que no presuma ser percepción, emoción o un legado sagrado.

 

Según Loeffler [2]; las cuatro enseñanzas superpuestas, que corresponden a la identificación de un símbolo, mito o leyenda, son:

 

  1. Un mensaje de orden histórico, es decir; un relato de epopeya, concerniente a hechos y personajes reales, sirviendo así de soporte material para la enseñanza simbólica.

  2. Una enseñanza psicológica, mostrando la lucha del espíritu y la materia a nivel humano.

  3. Un aprendizaje relativo a la vida de nuestro planeta.

  4. Un saber relacionado con la constitución de la materia y el orden cósmico.

 

En este caso hablamos de Israel, cuyos emblemas perdieron su patria, y otros ensombrecieron su crédito celeste.


Llamémosle un caso extraordinario en el Arte de la Pintura, quizás único en su género, y de armonía plena.


El cabalista se vale del Árbol Sefirótico para escrutar en los secretos de la omnisciencia del Arquitecto Supremo, y, si este don le fuera dado, sacar a la luz aquello que lo anima y lo hace ser real a los sentidos.

Velázquez plasma en su pintura los distintos niveles del conocimiento de sí mismo, y experimenta, bajo la presencia del rey y de su mismo grupo social, la ciencia de la Kabala.




 

Tamaños de las cuadrículas


       
Aunque el lienzo de Las Meninas no tenga forma cuadrada plantearemos el concepto del cuadrado como proporción inicial del estudio de su formato actual, y consecuente análisis de su velada e importante simbología.

 

A la hora de estudiar la Geometría cabalística de Las Meninas con la ayuda de una cuadrícula de 153 unidades de lado, y equivalente a 136 pulgadas, hemos comprobado que los centros de las posiciones de estas atesoradas esferas no se acomodan en coordenadas de números enteros.

De ahí el de decantarnos por otro tamaño de cuadrícula, también cuadrada, pero de 152 unidades de lado.

 

Ambas cuadrículas son adecuadas, pero de usos diferentes; lo único que cambia es la cantidad de área del lienzo a ser analizado.


Tipos de cuadrículas sobre la superficie de Las Meninas


Acotación geométrica

Unidades

Pulgadas

Color del Punto

Abscisa  X

Ordenada  Y

Línea de acotación

Límite de la rejilla de 150 unidades

Límite de la rejilla de 152 unidades

144 x 144

150 x 150

152 x 152

128 x 128

133 y 1/3 x 133 y 1/3

135 y 1/9 x 135 y 1/9

Amarillo

0

0

Borde del orillo del lino original

155,25 x 155,25

138 x 138

Azul

0

0,375

Pared del Fondo

72 x 59,4

64 x 52 y 4/5

Blanco

0

- 0,3


Desglose del centro de Las Meninas

 

0,375 unidades = 7,75 mm.


Estas cuatro herramientas cuadradas están sometidas al mismo sistema de medidas y coordenadas, ya que mantenemos como centro de nuestro plano el punto E:

 

[0, 0].

 

Este centro se localiza en la parte superior de la moldura del espejo.



Centro de coordenadas


Coordenadas del centro del Marco de madera del Espejo, y del Cristal del Espejo:


X = 0,15 ; Y = - 9.


La sombra a lo largo del lateral izquierdo del Marco de madera del Espejo acrecienta su anchura, pero no altera la posición de la Sefira nº 9, Yesod, El Fundamento:


X = 0 ; Y = - 9.


Una vez dispuestos los útiles necesarios, estudiaremos las medidas originales del óleo de Las Meninas, y mostraremos, en las siguientes ilustraciones, una nueva condición geométrica viable de llevar a cabo por el pintor Diego Velázquez.

 

Operamos con vectores de un grosor de una milésima de milímetro, 0,001 mm., y una certidumbre de una diezmilésima de unidad en los resultados que aportamos.

Es decir; de un margen de seguridad de 0,0001 de unidad.

 

La unidad queda dividida gráficamente en 10.000 partes; y la imagen de Las Meninas mide: 133,6250 unidades por 153,9375 unidades.




 

Operación:


       
Multiplicaremos a ambas cantidades o lados por 10.000, y, a continuación, a estos dos nuevos resultados obtenidos los multiplicaremos entre sí para averiguar los puntos cartesianos localizados sobre la superficie de este plano.


 

   Es decir; hemos dividido la imagen de Las Meninas en 11336.250, un millón trescientos treinta y seis mil doscientos cincuenta posibles abscisas horizontales, por 11539.375, un millón quinientos treinta y nueve mil trescientos setenta y cinco posibles ordenadas verticales, para averiguar los números que mostramos.


 

Hablaríamos, pues, de esta cantidad ingente de coordenadas cartesianas localizadas sobre la superficie de Las Meninas: 22056.9891843.750.


 


Ajuste de la Cuadrícula de trabajo sobre la superficie de Las Meninas




 

Las medidas del lienzo


       
Las Meninas miden 3,18 m. de alto por 2,76 m. de ancho, si bien, habría que detallar oportunamente las características de este lienzo:


 

   Esta obra está forrada con el sistema tradicional de la gacha. El soporte original está formado por la unión de tres bandas de lienzo de lino, colocadas verticalmente, es decir, en el sentido de su fabricación; la central y la lateral derecha presentan todo el ancho de la tela, ya que se puede observar el orillo en el borde derecho que dobla sobre el bastidor.

La banda lateral izquierda es de menor tamaño y no se observa el orillo; tal vez fue cortada por Velázquez, para conseguir unas determinadas dimensiones en la composición... [3].


 

Las dos bandas de tela de la derecha de este lienzo son del mismo tamaño.


 

Y ya que las medidas vigentes del lienzo de Las Meninas no son las medidas originales que utilizó el maestro Velázquez, propondremos la figura de un cuadrado para ahondar en la estructura simbólica del tema que tratamos, cuyo centro quedó alojado en la parte superior del marco del espejo con los reyes de España reflejados en su interior.

 

Este gran cuadrado de ayuda mide 155,25 unidades de lado, que equivalen en el sistema métrico a 3,2085 metros, mientras que en el castellano son 138 pulgadas, y se extiende hasta lo que hemos dado en llamar:


 

Borde del orillo del lino original.


 

Este nuevo planteamiento se basa en la disponibilidad de dividir entre dos 138 pulgadas, que es igual a 69 pulgadas, y, de este modo, deducir el punto medio de la pared del fondo de Las Meninas.

La anchura de Las Meninas en medidas castellanas corresponden a 2,761583333 metros = 133,625 unidades; que equivalen a 118 pulgadas y 7/9.


 

DESGLOSE DE LA ANCHURA DE LAS MENINAS

  • Desde el centro hasta el margen derecho es igual a 69 pulgadas = 77,625 unidades.

  • Desde el centro hasta el margen izquierdo es igual a 49 pulgadas y 7/9 = 56 unidades


 

Hablamos, pues, de una cuadrícula geométrica superpuesta al lienzo de Las Meninas que ha rescatado del olvido las antiguas medidas castellanas de longitud, y también confirmado la posición exacta del verdadero borde del perímetro del lienzo original.


 

 

Primer plano del orillo de la tela original en el lateral derecho de Las Meninas


 

Y concebida la anchura de esta pintura a partir de un perfecto cuadrado, se deduce que la altura del lienzo original de Las Meninas medía el doble del ancho de la distancia entre el centro del espejo y el borde del orillo del lino original en el canto derecho del moderno bastidor.


 

69 pulgadas X 2 = 138 pulgadas.


 

El punto E trata del centro de coordenadas, mientras que el punto F es el centro compositivo, y consecuencia del punto medio geométrico que Velázquez proyecta en esta obra de arte; en la actualidad constituye el centro de Las Meninas tal cual las contemplamos en el Museo del Prado.

 

Y aunque el punto F es el centro compositivo de Las Meninas, se le adivina en dos posiciones diferentes; una consecuencia de la anchura actual de esta pintura, y la otra es a causa de la precisa cantidad desestimada de la zona izquierda, lo cual provoca un leve cambio de posición de este centro de composición de la creación velazqueña.


 
1º Caso 2º Caso
  • X = 10,6875 unidades

  • Y = 0,96875 unidades

  • X = 10,125 unidades

  • Y = 0,375 unidades


El punto F es el
centro de la anchura compostiva de Las Meninas

  • 1º Caso - Sobre el ojo izquierdo de la Infanta Margarita en la anchura de 2,76158333 metros.

  • 2º Caso - En la nariz de la Infanta en la anchura de 2,79 metros, que equivale a 120 pulgadas.


El lienzo de Las Meninas se compone de la unión de tres franjas de lienzo cosidas; dos de ellas tienen el ancho de fabricación, y una tercera, más estrecha, completa la anchura total de la tela.

 

La investigadora Carmen Garrido Pérez propone en su libro: VELÁZQUEZ, TÉCNICA Y EVOLUCIÓN - MUSEO DEL PRADO, 1992, un ancho de lienzo para la realización de Las Meninas de aproximadamente 105 centímetros.

 

Esto viene a ser 45 pulgadas X 0,02325 metros la pulgada = 1,04625 metros.



Análisis de las distancias de las dos costuras verticales de Las Meninas.


31 pulgadas y 4/9

43 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

118 pulgadas y 7/9

0,731083333 metros

banda del lienzo izquierda

1,01525 metros

banda del lienzo central

1,01525 metros

banda del lienzo derecha

2,761583333 metros

Total de la Anchura del lienzo actual


El ancho de Las Meninas mide 2,76 metros según el Catálogo del Museo del Prado.


32 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

43 pulgadas y 2/3

120 pulgadas

0,7595 metros

banda del lienzo izquierda

1,01525 metros

banda del lienzo central

1,01525 metros

banda del lienzo derecha

2,79 metros

Total de la Anchura del lienzo original


El ancho de Las Meninas sin marco y bastidor mide 120 pulgadas según el Inventario de 1734.


Aunque es más probable que la anchura de estas tres telas midiesen respectivamente: 32 + 44 + 44 = 120 pulgadas.

 

Ante estas conclusiones podemos ya hablar de la cantidad exacta de lienzo que Velázquez dispuso para su labor, y asegurar, por tanto, el análisis físico de esta pintura.


  unidades pulgadas metros medidas castellanas
Anchura 135 120 2,79 120 pulgadas / 12 = 10 pies
Altura 155,25 138 3,2085 138 pulgadas / 12 = 11 pies y medio


Medidas del lienzo de Las Meninas según el método de medición castellano.


Sin duda, 3,2085 metros era el tamaño de la altura del lienzo de Las Meninas antes de ser montado a su bastidor original.

 

La altura pictórica de 3,2085 metros la hemos considerado teniendo en cuenta dos factores:




 

El Árbol de la Vida


       
Sorprende, y es exacto, que el Límite de la rejilla de 152 unidades, respecto al tamaño del Límite de la rejilla de 150 unidades, aunque suponga una pequeña ampliación de formato, equivale a una cuadrícula de 8 X 8 subcuadrados de 19 unidades de lado cada uno, es decir:

 

        Hablamos, pues, de una gran cuadrícula constituida por 64 subcuadrados, que vienen a ser el mismo número de casillas que componen el tablero del juego del Ajedrez [4].

 

La cuadrícula de 152 unidades de lado evidencia la exactitud y coherencia de los resultados espaciales obtenidos:




Ahora las 10 esferas + 1 están en su sitio.

 



La raíz cuadrada de 5 aparece en la fórmula del número áureo, y es geométricamente la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente.

 

En la comprobación geométrica de estos vectores diagonales hemos verificado que, sin forzar en ningún momento a la proporción áurea, estas entidades o esferas cabalísticas quedan ensartadas armónicamente por su centro.


Numeración

Hebreo

Castellano

Planeta

Abscisas - X

Ordenadas - Y

I

Kether

Corona

 

0

62

II

Chokmah

Sabiduría

 

24

50

III

Binah

Inteligencia

Saturno

- 24

50

 

 Dahat

 Conocimiento

 

0

35,4

IV

 Chesed

Merced o Gracia

Júpiter

24

19

V

Geburah

Fortaleza

Marte

- 24

19

VI

Tiphereth

Hermosura

Sol

0

9,5

VII

 Netzach

 Eternidad o Vitoria

Venus

24

- 12

VIII

 Hod

 Alabanza o Confisión

Mercurio

- 24

- 12

IX

Yesod

 Fundamento

Luna

0

- 9

X

 Malkuth

 Reino

Tierra

0

- 38


Nombres y significados según el sefardí Abraham Cohen Herrera [5].

 

Coordenadas de los diez Sefirot + Dahat en el lienzo de Las Meninas.




La cuadrícula de 152 unidades


       
El tamaño de la cuadrícula de 152 unidades en medidas castellanas:

 

152 unidades / 1,125 unidades por pulgada = 135 pulgadas y 1/9.

 

1,125 unidades por pulgada representa el coeficiente que traduce cualquier medida del lienzo de Las Meninas en pulgadas castellanas.


 

Unidades División de la pulgada en 12 líneas Pulgadas Metros
1,125 12/12 1 0,02325
1,03125 11/12 0,916666666 0,0213125
0,9375 10/12 0,833333333 0,019375
0,84375 9/12 0,75 0,0174375
0,75 8/12 0,666666666 0,0155
0,65625 7/12 0,583333333 0,0135625
0,5625 6/12 0,5 0,011625
0,46875 5/12 0,416666666 0,0096875
0,375 4/12 0,333333333 0,00775
0,28125 3/12 0,25 0,0058125
0,1875 2/12 0,166666666 0,003875
0,09375 1/12 0,083333333 0,0019375


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el metro centesimal.

 

El Pie Real equivale a 12 pulgadas, y mide 0,279 metros.


 

   El tamaño de la cuadrícula de 152 unidades en metros:

 

Primero hagamos la siguiente operación aritmética para estar al corriente del valor en metros de una pulgada castellana:

 

Un pie Real de 0,279 metros / 12 = 0,02325 metros; este resultado es lo que vale una pulgada.

 

0,02325/9 = 0,002583333 metros, este resultado representa 1/9 de pulgada.

 

Ahora multiplicaremos y sumaremos adecuadamente:

 

Conclusión:

3,13875 metros + 0,002583333 metros = 3,141333333 metros.

 

Este resultado representa la altura de lienzo necesaria para acomodar la Geometría áurea sobre la superficie de Las Meninas.




 

El punto de fuga áureo de Las Meninas


       
En el Renacimiento el estudio de la Divina Proporción fue de máximo interés, y no sólo en relación a la Matemática, sino con la propia concepción del Universo.

 

En Las Meninas Velázquez introduce, adicionalmente, el vínculo entre la divinidad y la Geometría áurea:

 

        En una época en la que la Teología Católica aún se la consideraba como la ciencia más alta del conocimiento.

 

La publicación en 1925 del inventario de la librería de Velázquez por Sánchez Cantón abrió la posibilidad de conocer los intereses literarios y científicos del pintor [6].

 

Las materias del quadrivium, o cuadrivio, representan al conjunto de las cuatro artes liberales de la antigua Grecia y del mundo medieval. Ciencias de un mismo patrón teórico que han permanecido lejos de su aplicación, y posterior desarrollo, en la metódica investigación de la obra de Velázquez [7].

 

En la Chronographia de Francisco Vicente de Tornamira, Pamplona, 1585, libro que se hallaba en la biblioteca de Velázquez, se describe a las siete artes liberales con todo lujo de detalles:

 

        De los antiguos Philoſophos dependieron las siete Artes que llamaron liberales, dignas de ſer deprendidas de la gente libre y noble; las quales ſon Grammatica, Logica, Rethorica, Muſica, Arithmetica, Geometria, y Aſtrologia. Las tres primeras van por tres diuerſos caminos a un meſmo fin, que es el conoſcimiento del razonar; porque la Grammatica ha coſideracion al bien o mal hablar. La Logica al verdadero o faſso. La Rhetorica, al polido o no polido; de manera que todas tres tratan del razonar. Las quatro poſtreras van tambien por quatro vias a un meſmo fin, que es el conoſcimiento de la cantidad. Porque la Arithmetica trata de la cantidad diſcreta, no contrayda de los numeros. La Muſica, de la cantidad diſscreta, contrayda aſon. La Geometria, de la cantidad continua, no contrayda a linea. La Aſtrologia, de la cantidad continua, contrayda a mouimiento; de ſuerte que todas quatro tratan de la cantidad.


El quadrivium comprendía: Aritmética, Geometría, Astronomía, o Astrología, y Música.


Para que se pueda afirmar que el número áureo está presente en el lienzo de Las Meninas las medidas deben tomarse desde puntos significativos; por lo que abordaremos el estudio de la posición exacta del punto de fuga áureo de este óleo adentrándonos en el primer tratado en castellano de Fortificación, dedicado al rey Felipe III, escrito por el capitán e ingeniero Chriſtoual de Rojas, y publicado en Madrid en 1598:

 

Teorica y Practica de fortificacion.


AL PRINCIPE

 

nueſtro ſeñor don Felipe.

 

SEÑOR.

 

        Aviendo dado Dios à V. Alteza el mayor imperio del mundo, y todas las partes que ſon meneſter para merecerle, eſcuſado ſera tratar de lo que en la milicia (vna de las colunas en que ſe ſuſtentan las Monarchias) importa la fortificación: y tambien lo fuera tomar à mi cargo el eſcriuir eſta materia, ſi algun Eſpañol lo huuiera hecho; pero viendo que eſta nacion tiene mas cuydado de derribar las fuerças, y muros de los enemigos, que de enſeñar à fabricarlos (aunque no es lo vno contrario a lo otro) determinè abrirle camino, y poner en manos de V.A. eſte libro, para que viendole tan fauorecido, otros ingenios mas leuantados den perfecion à mi intento, ſacando à luz ſus talentos eſcondidos: en lo qual pienſo hazer à V.A. un gran ſeruicio: como quien deſcubre minas riquiſſimas, que aunque no puſo el deſcubridor el oro que dellas ſe ſaca, merece premio por auerle deſcubierto. Aſsi yo le eſpero por eſte libro, como inſtrumento que mouera los que le ſeguiran luego, de tan grandes ingenios, como V.A. tiene en ſu ſeruicio. Eſto es lo que ofrezco à V.A. con la humildad que ſe deue à ſu grandeza, y con la fidelidad y deſſeo, que en ocaſiones he derramado mi ſangre, y auenturado la vida por ſu Corona: en la qual, deſpues de los largos, y felizes dias del Rey nueſtro ſeñor, conſerue Dios a V.A. con aumento de Reynos, como la Chriſtiandad ha meneſter.

 

En Toledo à 8. de Iulio de 1596.

 

Chriſtoual de Rojas.


        Digo que ſe corte de tal manera la linea A.D. que el rectangulo de toda ella, y vna de ſus partes, ſea igual al quadrado, que ſe hiziere de la parte que reſta, que ſe hara por la 11. propoſicion del lib. 2. de Euclides, y como aqui parece en eſta figura, en que mueſtra que la linea A.D. ſe haga della vn quadrado, y luego el lado D.C. deſte quadrado ſe diuida en dos partes iguales en el punto E. y deſde alli ſe tirarà la linea E.A. y à la meſma diſtancia ſe dara la linea E.T. y de la frente de la T.D. ſe hara vn quadrado D.T.L.N. que es igual al rectangulo ſeñalado con la R. y todo el rectangulo mayor L.C. es igual al quadrado de A.D. hoc eſt D.G. de donde ſe ſigue, que la linea A.D: eſta cortada con eſtrema, y media razon, en el punto N. como ſe prueua por la proporcion 30. del lib. 6. de Euclides.


Página 27 - Teorica y Practica de fortificacion. Chriſtoual de Rojas. Madrid, 1598.


        La valiosa división perfecta, que los antiguos llamaron áurea, nos ha acercado a la solución del porqué Velázquez elige situar el punto de fuga X en relación a la figura de un cuadrado que mide 152 unidades de lado.

 

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, que lo definió en su libro de Los Elementos del siguiente modo [8]:

 

Libro VI - Definición 3

 

        Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total, AB, es a la parte mayor, AT, como la parte mayor, AT, es a la menor TB.



Los Elementos de Euclides y Las Meninas.

 

Análisis

 

Libro VI - Definición 3

 

Aquí se deduce que siendo AB = 152 unidades y AT = 94 unidades; luego el valor de TB sería de 58 unidades.

 

Es decir, la relación entre; AT = 94 unidades y TB = 58 unidades, se aproxima al valor del número de oro:

 

94/58 = 1,620689655...

 

 

Matemáticamente: TB = AT2 / AB = 942 / 152 = 8836 / 152 = 58,13157895 unidades.

 

La diferencia es de 58,13157895 - 58 = 0,13157895 unidades, aproximadamente 2/15 de pulgada.

 

Si 1,125 unidades equivalen a 23,25 mm. [9].

 

0,13157895 unidades equivaldrán a 2,7192983 mm.

 

   Esto significa que la perpendicular que nace en el punto I, y que pasa por el punto T, y cruzando el punto de fuga X finaliza su recorrido en el punto K, está desplazada hacia la derecha, según estos cálculos matemáticos, 2,7192983 mm. [10].


El punto de fuga de Las Meninas se ubica en la coordenada del punto X: [18, -12].


Para continuar entremos, de nuevo, en Los Elementos de Euclides y leamos:

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

        Dividir una recta AB en dos partes de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y por una de sus partes, ZCKI, sea equivalente al cuadrado de la otra parte, AB2.



1º Caso

 

Los Elementos de Euclides y Las Meninas.

 

Análisis

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

Localización del punto de fuga de acuerdo al tamaño del Límite de la rejilla de 152 unidades.


Euclides construye esta Proposición 11 a partir del cuadrado ABCD;

De esta forma se obtiene el punto T, y así se completa el cuadrado TIZA.

 

El punto T, como ya hemos observado, divide el segmento AB en media y extrema razón, de lo que se deduce que AB / AT = AT / TB.





 

El Triángulo de Kepler


        El Libro II - Problema 1 - Proposición 11, de los Elementos de Euclides del apartado anterior, es el antecedente necesario de la substancial finalidad de Velázquez; aunque es perentorio subrayar, además, que debido al interés del pintor español por este tipo de Geometría, y, ante el vigor científico de esta época, el punto de fuga áureo de este lienzo quedó establecido en la perpendicular de la altura del Triángulo de Kepler.

 

Nicolás Copérnico [11], para su satisfacción, tenía razón ante un Tolomeo aún vigente entre los distinguidos profesores del siglo XVI, mientras que Johannes Kepler, matemático y astrónomo, publicaba en el año 1596 el MYSTERII COSMOGRAPHICI donde expresaba, en estos términos, su admiración por la proporción áurea:

 

   Dos grandes tesoros tiene la Geometría; uno es el Teorema de Pitágoras, y, el otro, la división de un segmento en media y extrema razón:

 

Al primero lo podemos comparar a un montón de oro, y al segundo lo podemos llamar una piedra preciosa.

 

        Quo accedit & illud, atque hercle indicem digitum ad cauſam harum rerum occultiſisimam intendit, quod proximo capite habebimus: (17) duos nempe eſſe Geometriæ theſauros, vnum, ſubtenſæ in rectangulo rationem ad latera; alterum, lineam extrema & media ratione ſectam, quorum ex illo Cubi, Pyramidis & Octaedri conſtructio fluir, ex hoc verò conſtructio Dodecaedri & Icoſaedri.

 

Página - 41. CAPUT XII. Diuiſio Zodiaci, & aſpectus. MYSTERII COSMOGRAPHICI. M. Ioanne Keplero. TVBINGÆ. ANNO M. D. XCVI.

 

(17) Duos nempe esse Geometriae thesauros.

 

Duo Theoremata infinitae vtilitatis, eoque pretiosissima, sed magnum discrimen tamen est inter vtrumque. Nam prius, quod latera rectanguli possint tantum, quantum subtensa recto, hoc inquam recte comparaueris massae auri: alterum, de sectione proportionali, Gemmam dixeris. Ipsum enim per se quidem pulchrum est, at sine priori valet nihil: ipsum tamen promouet scientiam tunc vlterius, cum prius illud nos aliquatenus prouectos, iam destituit, scilicet ad demonstrationem et inuentionem lateris Decangularis, et cognatarum quantitatum.

 

IN CAPVT DVODECIMVM NOTAE AVCTORIS. Bearbeitet von Frankz Hammer. München. MCMLXIII.


 

1597 & 1543


 

Al año siguiente, 1597, Michael Mästlin, uno de los primeros en aceptar y enseñar el heliocentrismo copernicano, envía en una carta a su exalumno Kepler el cálculo exacto del número de oro Phi [12].

 

El Triángulo de Kepler combina cuatro conceptos claves de Geometría y Matemática;

Un Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados cuyas áreas están en progresión geométrica de acuerdo con la proporción áurea.

 

Y puesta en práctica esta progresión geométrica en el Arte pictórico de Las Meninas tendríamos:


 

Progresión geométrica de Kepler

 

Y aplicando el Teorema de Pitágoras obtendríamos la siguiente igualdad:

 


2º Caso

 

El Triángulo de Kepler y el lienzo Las Meninas - [14].



Y, a su vez, el Triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo con lados en progresión geométrica.


 

La longitud de los tres lados del Triángulo de Kepler, y los tamaños de las áreas de los tres cuadrados que lo circunscriben.


 

Escribe Michael Mästlin:

 

   Si ad E trianguli rectanguli ea ſit ſtructura, ut DF perpendicularis hypothenuſam AE in F ſecundum extreman & mediam rationem fecet (...)

 

Michael Mästlin se está refiriendo al Libro VI - Definición 3 de de los Elementos de Euclides:

 

   Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total, AE, es a la parte mayor, AF, como la parte mayor, AF, es a la menor, FE.

 

22 años antes de que se pintaran Las Meninas encontramos al final del Libro VI de Diofanto de Alejandría, de Les oeuvres mathematiques de Simon Stevin de Bruges editado en Leyden en 1634, un comentario acerca del valor del número Phi.

 

Albert Girard, 1599 - 1632, por tanto ya fallecido, dejó constancia en el libro de Simon Stevin una manera ingeniosa de plantear la proporción áurea.

 

Comenta el matemático francés acerca de la línea dividida en media y extrema razón:


 

; & pour exemple ſoit propoſe d´explicquer par des rationaux la raiſon des ſegmens de la ligne coupeé en la moyenne & extreme raiſon, ſoit faicte une progreſſion: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, &c. dont chaſque nombre ſoit egal aux deux precedens, alors deux nombres pris immediatement denotteront la meſme raiſon, come 5 á 8 ou 8 á 13 &c.& tant plus grands, tant plus pres, comme ces deux 59475986 & 96234155, tellement que 13, 13, 21 conſtituent aſſez preciſement un triangule Isoſceles ayant l´angle du pentagone;


 

El valor de Phi según Albert Girard sería: 96234155 / 59475986 = 1,618033789... = Φ.




 

Phi y la unidad

 

[1/Φ] 0,618033988... + [1/Φ2] 0,381966011... = 1.


 


3º Caso

 

Localización del punto de fuga áureo en la rejilla de 152 unidades de lado.




En este ejemplo 1/Φ2 es la distancia entre el punto de fuga y el lateral derecho de esta rejilla.




 

La precisión geométrica


        La invención de la perspectiva se remonta al año 1416 cuando Filippo Brunelleschi fijó
en el punto de fuga la clave de la reducción matemática absoluta de las tres dimensiones del espacio descriptivo en un soporte bidimensional [15].

 

La perspectiva interpreta la posición de cada detalle en la profundidad, tal y como aparece ante nuestra vista, siguiendo reglas geométricas consistentes.



4º Caso

 

Localización de la altura del Horizonte de Las Meninas respecto al suelo de la Habitación del Príncipe.


Y de igual modo comprobamos que el espacio tridimensional de esta obra maestra depende del talante científico del pintor Diego Velázquez ubicando el punto de fuga X en la coordenada: [18, -12].

 

        La altura del Horizonte de la escena de Las Meninas, como causa de la realidad perfecta pitagórica da acceso directo al reino de la verdad, y mide la cuarta parte del tamaño real de la anchura de la Habitación del Príncipe.



 

El Baricentro

 

Iintersección de las tres medianas del gran triángulo.

 

El Baricentro se localiza en el Horizonte o nivel de ojos.


Desde de la antigüedad se les ha atribuido un carácter estético especial a los objetos cuyas medidas cumplen con la proporción áurea, y, en el caso del óleo de Las Meninas, esta trascendencia áurea y simbólica, como ha sido probado, va acompañada de un legado sacro de primera magnitud.

 

El descubrimiento de los números irracionales, y por tanto inconmensurables, por Hipaso de Metaponto causó una tremenda conmoción en la comunidad pitagórica, pues contradecía la máxima filosófica del gran matemático griego Pitágoras que llegó a basar toda su filosofía en la frase:

 

TODO ES NÚMERO.

 

La leyenda afirma que Hipaso fue castigado a morir ahogado por introducir un elemento de desorden en un universo que los pitagóricos pretendían reducir a números naturales y proporciones.

 

El malogrado Hipaso de Metaponto descubrió que en la Geometría existen números que no pueden ser expresado como una fracción.

Posteriormente, Teodoro de Cirene, filósofo y matemático griego, probaría la irracionalidad de las raíces de los números enteros a base del método tradicional pitagórico.

 

En este análisis el número irracional que señalamos armoniza todas la medidas y coordenadas del plano final del óleo de Las Meninas [16]:




 

 


Intersección de la superficie del lienzo con el plano de proyección en Las Meninas

 

 

Lado del Triángulo Cateto menor Cateto mayor Hipotenusa
Medidas en pulgadas 80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400
Divisiones 60 x 4 partes 64 x 5 partes 100 x 4 partes


La Escuadra Perfecta


El nombre de terna pitagórica deriva del teorema de Pitágoras, y consiste en una secuencia ordenada de tres números enteros positivos; a, b y c, que cumplen con el siguiente requisito:

 

a² + b² = c².

 

Cateto menor

a

Cateto mayor

b

Hipotenusa

c

80 X 3 = 240 80 X 4 = 320 80 X 5 = 400


Terna pitagórica del plano de Las Meninas

 

Este plano, basado en el Teorema de Pitágoras, prueba gráficamente la gestación del trabajo geométrico de Las Meninas, y permite reconstruir, con total exactitud, la localización de cada elemento necesario y principal de esta composición:

Luego la escala de representación de la pared del fondo será: 0,888.888... / 3,333.333... = 0,266666... = 1 / 3,75 [17].

 

Este plano mide físicamente 240 X 320 pulgadas, es decir; 5,58 X 7,44 metros.

 

El método geométrico que mostramos no es convencional, sino rigurosamente exacto, y prueba que la certera posición del punto de fuga áureo X ha sido resuelta, en cada Caso, con un total grado de coherencia matemática; y, eso sí, hemos establecido, finalmente, la posición del pintor ante su lienzo.

 

Unos números que se adaptan al cristalino del ojo en el acto espontáneo de mirar, y que, con cierta vocación científica, coinciden con el tamaño del ángulo visual de Las Meninas.



Detalle de la intersección de la Geometría con la superficie del lienzo


 

Este infinito áureo converge con la Geometría Sagrada, que como lenguaje simbólico no se limita al simple uso de figuras y formas, sino que es una ciencia concebida para trascender ante el ojo del espectador.

 

Esta Geometría custodia atributos que poseen vida propia, y, al igual que el pensamiento pitagórico estaba dominado por las matemáticas y la mística, el dinamismo de los colores y las formas de cada detalle también habla.

 

Las Meninas, como plasmación de pintura perfecta, encierra todo este verbo divino.

 

Si bien la Kabala puede ser considerada ayuda alevosa, sin embargo, en el ejemplo que mostramos, ha sido la única ciencia auxiliar en confirmar el linaje de ciertas pinceladas del pintor, lo cual da pie para pensar en la utilidad necesaria de esta nueva vía de investigación.

 

En la doctrina penal clásica se expone como ejemplo de alevosía el homicidio de Julio César a manos de Bruto, el cual sabía que la estrecha amistad entre ambos impediría que el dictador desconfiara de él, en paralelo a la relación del rey Felipe IV en manos de su pintor Diego Velázquez.

 

En el caso de Las Meninas nos encontramos, fortuitamente, con Moisés camuflado en la textura del pelo de la menina Isabel de Velasco, que, como auspiciado profeta, se sitúa en el árbol Sagrado de la Vida en la Sefira nº 7 - Nectzah - La Victoria.

 

        La menina Isabel de Velasco luce sin pestañear una mirada de aspecto venusiano; pero es, ciertamente, en la parte posterior de su cabeza donde su pelo se transforma en una cara o retrato de un ilustre personaje mirando hacia la luz principal procedente de la primera ventana:

 

Una insospechada textura de alto brillo y gran contraste.

 

Este vigoroso rostro está enraizado en su encanecido pelo, y, retratado de perfil, se opone a la citada mirada de la menina.


El patriarca Moisés

        Este nuevo personaje comparte con esta menina la posición de su oreja, tiene apariencia masculina, de tez morena y avanzada edad, poblada barba agrisada, de aspecto bíblico, mira hacia la luz que entra por la ventana de la derecha, tiene cara de suplicar y de estar en trance a la par, los toques de pintura blanca y oscura, además de ser texturados como pelos, tienen el añadido de ser componentes caligráficos hebraicos.

 


Los cabellos de la menina Isabel de Velasco & Carta XXX - Tarocchi de Mantegna - Alberto Durero. Entre 1495 y 1505.

 

 

רֹאשׁוֹ, כֶּתֶם פָּז; קְוֻצּוֹתָיו, תַּלְתַּלִּים, שְׁחֹרוֹת, כָּעוֹרֵב׃

 

 

Su cabeza es un tesoro de oro fino, sus mechones le cuelgan, negros como el cuervo.

 

Cantar de los Cantares 5:11

 


Conocemos, a ciencia cierta, la identidad del personaje masculino en la zona de estudio que analizamos, porque, ya que los antiguos cabalistas situaron en las esferas del Árbol de la Vida los patriarcas bíblicos según su naturaleza, Moisés, autor de la Torah y líder indiscutible de la Kabala, quedó representado al pie de la columna derecha.

 

Entre tanto, y según Athanasius Kircher, leamos lo que se oculta tras la menina Isabel de Velasco, en la Sefira nº 7 Nectzah.

 

        Septimum veſtimentum Dei ſeu Sephirah dicitur נצח Netſah, id eſt, triumphus, victoria, ſeu æternitas, cui nomen יהוה צבאות Adonai Tſebaoth. Eius attributa ſunt, Crus, pes, columna dextera, rota magna, viſio Prophetæ. Canalis eſt, per quem Deus influit in Principatus, & per Intelligentiam Haniel in Cœlum Veneris. Plantarum cauſa & origo eſt.

 

Página 294 - CLASSIS IV. CABALA HEBRÆRVM - CAPVT VIII. Athanasii Kircheri. OEDIPI ÆGYPTIACI. Tomus Secundus. GYMNASIVM. ROMÆ - Anno M DC LIII.

 

La Sefira Nectzah representa la Victoria, la Eternidad, la visión de la profecía y al gobierno sobre las pasiones.


 










notas a pie de página










 

 

1 - Breve ayuda del desarrollo del valor del número áureo Phi - Φ.



Análisis matemático geométrico


2 - M. Loeffler, Le symbolisme des contes de Fées. París, 1949.


 

3 - Boletín del Museo del Prado. Mayo-agosto 1984. La restauración de Las Meninas de Velázquez. Manuela B. Mena Marqués.


 

4 - El ajedrez siempre estuvo vinculado a la Geometría y Matemática, y por supuesto, a la Guerra; comenta Ruy López de Segura, a quien se le considera como el primer campeón de ajedrez registrado en Europa, que dedicó su libro a don García de Toledo, ayo y mayordomo mayor del Príncipe heredero don Carlos.

 

        Ser el iuevo del axedrez juego de ſciencia, è inuencion mathematica, conſta por muchas coſas. La primera, porque el eſta fundado ſobre dos artes liberales, couiene a ſaber, Geometria y Arithmetica: porque es notorio eſtar compueſto ſobre vn lado de ſuperficie quadrada y plana, y perficionado con numero de ocho, que es numero pleno, ſegun que es notorio a todos los que algo ſaben: el qual multiplicado en ſi meſmo cria vna multiplicacion, è numero de ſeſſenta y quatro.


Folio 1 - Libro de la Invencion Liberal y Arte del Juego del Axedrez. Ruylopez de Sigura. Alcala, 1561.

 

Con cierta certeza estaríamos ante una ceremonia de iniciación un tanto incierta, y todo sin percatarnos en absoluto; la contestación a este gran interrogante podría hallarse planteada en una ingeniosa jugada maestra del juego del Ajedrez en Las Meninas.

 

Las fichas son blancas o negras, la Reina en su color y mueven primero las blancas.


Torre La Guardadamas Marcela de Ulloa
Caballo Aposentador del Rey Diego Velázquez       
Alfil Menina María Agustina Sarmiento
Rey Rey Felipe IV de Austria
Reina Reina Mariana de Austria
Alfil Menina Isabel de Velasco
Caballo Aposentador de la Reina José Nieto
Torre El Guardadamas desconocido


La Retaguardia de la Infanta Margarita de Austria como heredera al trono español

 

Los otros dos personajes de la partida que faltarían por acomodar, en este tablero imaginario de Ajedrez, serían los famosos bufones: La bufona Maribárbola y el bufón Nicolás Pertusato, y, por supuesto, el perro situado en el primer plano.


5 - Abraham Cohen de Herrera, 1570 – 1635, también conocido por Alonso Núñez de Herrera o Abraham Irira, fue un hombre religioso, filósofo y cabalista.

Se sabe que era descendiente de familia de Marrano; pero nos es desconocido el lugar de su nacimiento, según su biógrafo Barbosa Machado estuvo en Lisboa, Portugal, otras fuentes apuntan a Italia, específicamente la Toscana, y el hijo del último rabino de la sinagoga de Córdoba lo sitúa en España.

Casado con Sara de Herrera en Ámsterdam en 1600; también se sabe que su tío se llamaba Juan de Marchena y que trabajó de factor para el Sultán de Marruecos Moulay Ahmed el Mansour.

Cuando se encontraba de negocios en Cádiz, España, Herrera fue capturado por los ingleses, y liberado más tarde gracias a la diplomacia entre el Sultán y la reina de Inglaterra Isabel I, para retornar a la comunidad judía de Ámsterdam.


 

6 - Sánchez Cantón, F.J. La librería de Velázquez. Homenaje a Menéndez Pidal, III. Madrid, 1925.


 

7 - El inventario de la librería de Velázquez constituye una manifestación elocuente de su particular gusto frente a lo que era común en su tiempo en la educación de un pintor.

En su biblioteca, de algo más de 150 volúmenes, encontramos, sobretodo, temas relacionados con la Aritmética, Geometría y Arquitectura.


 

·  415. - Antonio Buscon, De Architectura italiano.

·  417. - De fortificacion cat. Yomo Castrioro.

·  419. - Vitrubio de Arquitectura.

·  420. - Matemática de Aguilon.

·  421. - Galasso Matematica en dos tomos.

·  422. - Architectura de Vicencio Escamacio beneciano.

·  423. - Alberto Durero, Simetria italiano.

·  424. - Cataneo de Architectura italiano.

·  425. - Jeometria de Bitelono.

·  427. - Architectura de Leon Alberti.

·  428. - Sebastian Serlio, Architectura.

·  433. - Vitrubio, Architectura.

·  440. - Geometría práctica.

·  448. - Elementos de Euclides.

·  450. - Matemática de Pedro Cataneo.

·  461. - Perspectivas de Euclides.

·  462. - Perspectivas de Daniel Barvaro.

·  463. - Arismetica de Moya.

·  464. - Vitruvio de Architectura.

·  466. - Serguio, De Architectura.

·  467. - Numeros y medidas.

·  468. - Nicolao Tartalia en italiano.

·  469. - Vitruvio, Architectura en italiano.

·  470. - Juan Antonio Buscon, Architectura.

·  478. - André Palladio de Architectura.

·  480. - Algebra de Pedro Nuñez.

·  490. - Especularia, en italiano.

·  491. - Marco Aurelio Alemán. Arismetica.

·  493. - Céspedes de Geometría.

·  497. - División de superficies, italiano.

·  498. - Summa Astrológica.

·  503. - Perspectiva de Euclides.

·  507. - Aritmetica de Joseph Unicornio, italiano.

·  508. - Baptista Alberto, italiano.

·  511. - Euclides filósofo.

·  516. - Antonio Fineo, Aritmética.

·  519. - Materia de Architectura.

·  532. - Practica de perspectiva, italiano.

·  533. - Jacomo Barrocio de Architectura.

·  536. - Serlio de Architectura.

·  538. - Pedro Cataneo de Architectura.

·  545. - Sciencia Matematicas de Nejarense.

·  551. - Mobimiento de los planetas.

·  553. - Antonio Labaco, Architectura.

·  554. - Alberto Durero, Geometría.

·  556. - Architectura de Vitrubio, italiano.

·  558. - Leonardo de Vinci, de la pintura.

·  561. - Pedro Antonio Darca de Architectura.


 

   Los ejes fundamentales que sostienen la estructura temática de la biblioteca velazqueña son, como ha sido señalado, la geometría y perspectiva, la cosmografía y la arquitectura. Y por ello por el número de ejemplares de cada materia que podemos catalogar, pero también por la importancia cualitativa y el carácter enciclopédico con que se articulan todas estas disciplinas a partir de la ciencia del número, lo que manifiesta la organicidad de la concepción intelectual de nuestro pintor.

La relación de estas ciencias con el conjunto del quadrivium es directa y evidente. (...).

 

Página 23, Catálogo de Pedro Ruiz Pérez: De la Pintura y las Letras. La Biblioteca de Velázquez, editado por: E. P. G. Conserjería de Cultura. Junta de Andalucía. 1999.


 

8 - La obra de Euclides ha resistido el paso del tiempo, como ninguna otra científica a lo largo de más de 2300 años, y es casi seguro que la traducción de Rodrigo Zamorano fuera la que se usaba en el aprendizaje pictórico de la escuela de Francisco Pacheco, el maestro de Velázquez.

Rodrigo Zamorano, nace en Valladolid, 1542, y muere en Sevilla, 1620, se le considera uno de los mayores sabios y científico en la época de Felipe II.

Tradujo la primera edición en castellano de los Elementos de Euclides; la obra cumbre del lenguaje geométrico de toda la Matemática elemental griega: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra.

 

Libro VI - Definición 3

 

Dizeſe ſer diuidida vna linea recta con razon extrema y media quando fuere que como ſe ha toda a la mayor parte, aſſi la mayor a la menor.

 

Libro II - Problema 1 - Proposición 11

 

Diudir una linea de manera que el rectangulo de toda ella y vna de ſus partes ſea ygual a aquel quadrado que ſe haze de la parte que resta.

 

LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Traduzidos en lengua Eſpañola por Rodrigo Çamorano Aſtrologo y Mathematico, y Cathedratico de Coſmografia por ſu Mageſtad en la caſa de la Contratacion de Seuilla. Dirigidos al illuſtre ſeñor Luciano de Negron, Canonigo de la ſancta ygleſia de Seuilla. Con licencia del Conſejo Real. En Seuilla en caſa de Alonſo de la Barrera. 1576.

 

Ell compás es un instrumento que sirve para determinar la figura más perfecta de todas; el círculo, y es usado como símbolo de la Matemática, Geometría y Arquitectura.

El compás de proporción áurea de tres puntas determina de manera inmediata la proporción Phi sobre cualquier tipo de superficie en estudio.



Compás de Proporción Áurea y el valor Phi.


9 - Ya hemos comentado que 1,125 unidades por pulgada equivale a 23,25 milímetros; y es, por tanto, el número que traduce matemática y geométricamente la pulgada castellana al sistema métrico.

Básicamente, este número nos pone en contacto directo con realidad, profundidad y exactitud con el engranaje geométrico de este lienzo.


 

   En la siguiente tabla se plasma el descubrimiento del valor de la pulgada castellana convertida a unidades; lo cual significa que nos hallamos ante la cuantía de 1,125 unidades por pulgada, o número roseta, que traduce las pulgadas castellanas en cualquier clase de sistema de medidas longitudinales, y que, con extrema exactitud, también nos pone en contacto con las dimensiones reales de Las Meninas.


 

Unidades División de la pulgada en 9 partes Pulgadas Milímetros
1,125 9/9 1 23,25
1 8/9 0,888888888 20,66666666
0,875 7/9 0,777777777 18,08333333
0,75 6/9 0,666666666 15,5
0,625 5/9 0,555555555 12,91666666
0,5 4/9 0,444444444 10,33333333
0,375 3/9 0,333333333 7,75
0,25 2/9 0,222222222 5,166666666
0,125 1/9 0,111111111 2,583333333


Tabla de equivalencia entre las unidades, la pulgada castellana y el milímetro centesimal.


 

1,125 unidades por pulgada X 0,888.888 pulgadas por unidad = 1.


 


Detalle de la cuadrícula de trabajo

 

El Pie Real equivale a 13,5 unidades en la rejilla de trabajo.


 

        Si una pulgada equivale a 1,125 unidades en la cuadrícula de trabajo, entonces; sólo hay que multiplicar 1,125 unidades por 12 para obtener 13,5 unidades, que es la cantidad que representa en esta misma cuadrícula 4,5 cuadraditos valiendo el Pie Real 12 pulgadas.


 

10 - En la página 46, CAPITULO VIII, Luca Pacioli escribe, a finales del siglo XV, que estas partes irracionales así descritas en el arte se llaman residuos.

 

Luca Pacioli - La Divina proporción - Ediciones Akal, S. A. - 1991. Del manuscrito de la Biblioteca Ambrosiana de Milán dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro. Traducción de Juan Calatrava.

 

El tamaño del error de 2,7192983 mm. nos sitúa en el lugar del observador meticuloso, ya que hay varias ideas en juego en la concepción de este error:


 

Cuadrículas Valor - AB Valor - TB Valor - AT  AT / TB = Φ
Línea de acotación 144 54 90 90/54 = 1,666666666
Límite de la rejilla de 150 unidades 150 57 93 93/57 = 1,631578947
Límite de la rejilla de 152 unidades 152 58 94 94/58 = 1,620689655 *
Phi - Φ   1,618033988...
153 / 1,125 = 136 pulgadas 153 58,5 94,5 94,5/58,5 = 1,615384615 **
Borde del orillo del lino original 155,25 59,625 95,625 95,625/59,625 = 1,603773585


Tamaños de las cuadrículas de trabajo


 

            *   - Desplazado respecto al punto de fuga hacia la derecha 2,7192983 mm.

            ** - Desplazado respecto al punto de fuga hacia la izquierda 2,735294093 mm.

 


El número áureo Phi - Φ equivale a
AT / TB



11 - La obra denominada: Movimiento de los planetas de Nicolás Copérnico se hallaba en la biblioteca personal de Velázquez; un libro proscrito por la ortodoxia católica, cuyo mensaje innovador corre en paralelo con el espíritu presente en la pintura del artista sevillano.

 

Nicolás Copérnico, 1473 - 1543, fue un astrónomo del Renacimiento que formuló la teoría heliocéntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de Samos.

El científico polaco pasó cerca de veinticinco años trabajando en el desarrollo de su modelo heliocéntrico del universo, y lo publicó en su libro De revolutionibus orbium coelestium, y en castellano Sobre las revoluciones de las esferas celestes, que resultó ser una  teoría demasiado revolucionaria para que fuera aceptada por los científicos de la época.

Copérnico es considerado el pionero de la astronomía moderna, además de ser una pieza clave a lo que se llamó la Revolución Científica.

En De revolutionibus orbium coelestium explica su teoría heliocéntrica, basado en la Geometría de Euclides, a partir de seis teoremas y un problema.

En el Libro I, Teorema I, demuestra, en base al diámetro de un círculo, las medidas de los lados del triángulo, tetrágono, cuadrado, hexágono, pentágono y decágono, a los que circunscribe dicho círculo, y desarrolla, quizás por vez primera en la historia de la Geometría, el valor del número áureo Phi.


Cálculo de la proporción áurea por Nicolás Copérnico

Theorema primum.

Dato circuli diametro, latera quoque trigoni, tetragoni, hexagoni, pentagoni, & decagoni dari, quæ idem circulus circumſcribit. Quoniam quæ ex centro, dimidia diametri æqualis eſt lateri hexagoni. Trianguli uero latus triplum, quadrati duplu m poteſt eo quod ab hexagoni latere ſit quadratum, prout apud Euclidem in elementis demonſtrata ſunt. Dantur ergo longitudine hexagoni latus partium 100000. tetragoni partium 141422. trigoni partium 173205. Sit autem latus hexagoni AB, quod per XI. ſecundi, ſive XXX. ſexti Euclidis, media & extrema ratione fecetur in C ſigno, & maius ſegmentum ſit CB, cui æqualis apponat BD. Erit igitur & tota ABD extrema & media ratione diſſecta, & minus ſegmentum appoſita, decagoni latus inſcripti circulo, cui AB fuerit hexagoni latus. quod ex quinta & nona XIII. Euclidis libri ſit manifeſtum. Ipsa uero BD dabitur hoc modo fecetur AB bifariam in E: Patet per tertiam eiuſdem libri Euclidis, quod EBD quintuplum poteſt eius quod ex EB. Sed EB datur longitudine partium 50000. a qua datur potentia quintuplum, & ipsa EBD longitudine partium 111803. quibus si 50000 auferantur ipſius EB, remanet BD partium 61803 latus decagoni quæſitum. Latus quoque pentagoni, quod poteſt hexagoni latus ſimul & decagoni datur partium 117557. Dato ergo circuli diametro, dantur latera trigoni, tetragoni, pentagoni, hexagoni, & decagoni eidem circulo inscriptibilium, quod erat demonstrandum.

 

Teorema Primero.

Dado el diámetro de un círculo, se dan también los lados del triángulo, cuadrado, hexágono, pentágono y decágono, a los que circunscribe dicho círculo. Puesto que la distancia desde el centro, el radio, la mitad del diámetro, es igual al lado del hexágono, el lado del triángulo al cuadrado es igual al triple del lado del hexágono al cuadrado, y el cuadrado del lado del tetrágono es igual al doble del lado del hexágono al cuadrado, según se demostró en los Elementos de Euclides. Luego se dan, el lado del hexágono en longitud de 100000 unidades, el del tetrágono de 141422 unidades (√2), y el del triángulo de 173205 unidades (√3). Sea. ahora, AB el lado del hexágono, que por el problema I del libro II o por el X del libro VI de Euclides, en media y extrema proporción se corta en el punto C, y sea el segmento mayor CB, igual al cual se le añade BD. En consecuencia, ABD completa estará dividida en extrema y media proporción: y el segmento menor, el añadido BD, el lado del decágono inscrito en el círculo, AB el lado del hexágono; lo cual se clarificó a partir del V y IX preceptos del libro XIII de Euclides. Pero BD se conocerá de este modo: córtese en dos partes AB en el punto E. Es patente por el III precepto del mismo libro de Euclides, que el cuadrado de EBD es igual al quíntuplo del cuadrado de EB. Pero EB se conoce con una longitud de 50000 unidades, a partir de ella se conoce el quíntuplo de su cuadrado, y EBD con una longitud de 111803 unidades (√5/2), de las cuales, si se restan 50000 que tiene EB, queda BD de 61803 (1/Φ), lado del decágono buscado.

También se conoce el lado del pentágono, el cuadrado del cual es igual a la suma de los cuadrados del lado del hexágono y del decágono, de 117557 unidades:

Luego, dado el diámetro del círculo, se conocen los lados del triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono y decágono inscritos en el mismo círculo. Que es lo que había que demostrar.


Página - 12. Libro I. Theorema I. De revolutionibus orbium coelestium, Libri VI. Nicolai Copernici Torinensis. Norimbergae. 1543.


12 - Página - 21. EPISTOLÆ. Ad Joannem Keplerum scriptæ. Epistola X. Michael Maestlinus - Joanni Keplero. Año 1597.


Problema

de triangulo

rectangulo,

cujus latera

in continua

proportione.

 

Fig. VIII.

 Tab. A.

       Tua propoſitio de triangulo rectangulo, cujus latera ſint in continua proportione, mihi vehementer placet, ejusque demonſtratio bona eſt. Numeros addo. Si ad E trianguli rectanguli ea ſit ſtructura, ut DF perpendicularis hypothenuſam AE in F ſecundum extreman & mediam rationem fecet, AE autem ſit decem partium erit AF, eique æqualis ED, √125 - 5 & EF 15 - √125. quadratum vero ED2, quod eſt 150 - √12500. ablatum ex quadrato AE2 100, relinquit quadratum AD2 √12500 - 50. cujus latus eſt AD. Igitur proportionalia ſunt:

Et hæc eſt vera proportio quæſita, quæ ſimili modo initium, ſicut hic à latere AE, ita etiam à latere AD vel ED habere poſſet. De hac cum Domino D. Magaro hactenus propter creba impedimenta conferre non potui, fiet tamen id prima quaque occaſione.



13 - Libro I - Theorema. 33. - Propoſitio. 47.

 

En los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho de el lado que eſta opueſto al angulo recto es ygual a los dos quadrados que ſon hechos de los lados que contienen el angulo recto.


 

Sea el triangulo rectangulo .ABC. que tenga recto el angulo BAC. digo que el quadrado que es hecho del lado .EC. es ygual a los quadrados que ſe hazen de .BA. y de .AC. Deſcribaſe, por la .46. de la .BC. el quadrado .BDCE, y por la miſma, de la BA. y de la, AC. los quadrados .ABZI. ACKT. y por el punto A. tireſe .AL. parallela con la .BD. CE, por la propoſicion .31, y por la .I. peticion tireſe AD. CZ. y porque los angulos. BAC. BAI. ſon rectos. Luego tiradas dos lineas rectas .AC. AI. deſde vna linea recta .AB. y deſde vn punto en ella .A. no hacia vnas miſmas partes hacen de vna y otra parte angulos yguales a dos rectos por la .14. propoſition, luego en derecho eſta la .AC. de la .AI y por eſto tambien BA eſta en derecho de .AT y porque el angulo .DBC. es ygual al angulo .ZBA. porque cada vno dellos es recto; pongaſe comun el angulo ABC. Luego todo DBA es ygual a todo el angulo ZBC. y porque las dos .AB. BD. ſon yguales a las dos BZ. BC. la vna a la otra, y el angulo .DBA es ygual al angulo .ZBC. luego la baſis .AD, por la .4. propoſicion, es ygual a la baſis .ZC. y el triangulo .ABD. al triangulo .ZBC. es tambien igual. Y el parallelogramo .BL, por la 41, es doblo del triangulo .ABD porque tiene vna miſma baſis que es .BD. y esta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .DB. AL. y tambien el quadrado .IB. por la miſma, es doblo del triangulo .ZBC. porque tiene la miſma baſis que es .BZ. y eſta en vnas miſmas parallelas, es a ſaber .ZB. IC. y las coſas que ſon doblo de coſas yguales, por la .6. comun ſentencia, entre ſi ſon yguales. Luego el parallelogramo .BL. es ygual al quadrado .IB Semejantemente ſi por .I. peticion, ſe tiran .AE BK. ſe demoſtrara el parallelogramo CL. ſer ygual al quadrado .TC. Luego todo el quadrado .BDEC, es ygual a los dos quadrados .IB, TC. Y el quadrado .BDEC. es hecho de la .BC. y los quadrados IB. CT. ſon hechos de la .BA. AC. Luego el quadrado que de el lado .BC. ſe hizo es ygual a los quadrados que ſon hechos de los lados .BA. AC. luego en los triangulos rectangulos el quadrado que es hecho del lado que eſta oppueſto al angulo recto y lo que mas ſe ſigue como en el theorema, que ſe hauia de demoſtrar.


Demostración


LOS SEIS LIBROS PRIMEROS DE LA GEOMETRIA DE EVCLIDES - Rodrigo Çamorano. Seuilla. 1576.


14 - El estudio de la localización del punto de fuga áureo podría ser analizado de manera diferente, veamos a continuación otra nuevas aportación.



Localización áurea del punto de fuga
sobre el Límite de la rejilla de 152 unidades.


15 - El gran invento geométrico de Brunelleschi fue divulgado por el arquitecto Alberti en su Tratado de la Pintura - 1436, y, casi cuarenta años después, Piero della Francesca, 1420-1492, sistematizó la perspectiva lineal en su libro: De Prospectiva pingendi - 1474.

 

De Prospectiva pingendi está considerada como una extensión del tratado de Alberti, aunque influenciada por la Óptica de Euclides y los Elementos, donde hace continuas referencias al escritor griego.

 

Tras la muerte de Piero della Francesca una buena parte de su trabajo escrito inspiró a notables autores de tratados de Geometría.

En el libro de Luca Pacioli De divina proportione, ilustrado por Leonardo da Vinci, los estudios de Piero, sobre los sólidos geométricos, están presentes.

 

Piero della Francesca es el único pintor de su época que hace uso de una Matemática sofisticada, la cual supuso el puente entre la perspectiva artística y la Geometría.

 

La perspectiva lineal, nacida de la observación, estaba en contradicción con los postulados geométricos admitidos en en el siglo XV.

En efecto; en la Geometría de Euclides las paralelas son siempre equidistantes, y por mucho que se las prolonguen nunca se encuentran en un sólo punto; pero en la Geometría no euclidiana, generada de la experiencia del campo visual, aquel postulado se revelaba falso, pues, como demostró Filippo Brunelleschi, en el punto de fuga convergen todas las paralelas a la altura del nivel de ojo u horizonte.

 

Aunque habría que añadir que la perspectiva de la pintura italiana, a diferencia del modelo flamenco basado en la observación directa de la realidad, se consolidó, finalmente, en la Geometría euclidiana.


16 - No obstante, nos hemos basado en dos ideas complementarias que responden a la génesis geométrica de Las Meninas:


   
Cateto menor

ab

Cateto mayor

ac

Hipotenusa

cb

1 √3 2
120 120√3 240


Terna pitagórica de la Proposición 47 de Euclides

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al describe el eje vertical del punto de fuga áureo X:

 

 

al = 2 + √3/2.


Tamaño del área geométrica de Las Meninas
en pulgadas castellanas


 

17 - El ancho de Las Meninas equivale a la mitad de la anchura de la Habitación del Príncipe, y la escala de la distante pared pintada corresponde a 1/3,75 de esta misma sala.


 


Estudio de la escala de la anchura de la sala donde se pintan Las Meninas.

  • La anchura ideal de Las Meninas es de 120 pulgadas, que equivale a 2,79 metros.

  • Luego la anchura de esta sala será de 2,79 metros X 2 = 5,58 metros = 20 pies = 240 pulgadas.

  • La dimensión transversal de la distante pared pintada es de 1,488 metros = 64 pulgadas.

  • La relación entre el tamaño de como se pinta la pared del fondo y su tamaño real: 1,488/5,58 = 0,266666666...

  • Luego la escala de representación de la pared del fondo es de: 1/3,75 = 0,266666666...


Zona izquierda 132 pulgadas Zona central 64 pulgadas Zona derecha 44 pulgadas
44 44 44 64 44

Total - 240 pulgadas

Desglose de la anchura de la Habitación del Príncipe




 

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